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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:20 Fr 11.06.2010 | | Autor: | cycore |
Hallo,
ich bin mir bei folgendem unsicher, vielleicht kann mir ja jemand helfen...
Haben uns gefragt, wie das mit der Hausdorffeigenschaft bei beliebiger Produktbildung topologischer räume passiert...dafür habe ich mir den folgenden beweis überlegt:
Seien [mm] X_i i\in{I} [/mm] hausdorffräume, (I, <) geordnete Indexmenge.
[mm] X=\produkt_{i\in{I}}{X_i} [/mm] versehen mit der produkttopologie.
Sind [mm] x\not={y}\inX [/mm] bel., so ist zumindest eine Komponente [mm] x_i\not={y_i} [/mm] für ein gewisses [mm] i\in{I}. {X_i} [/mm] ist hausd., also existieren disj. offene umgebungen [mm] U,V\subset{X_i} [/mm] von [mm] x_i, y_i [/mm] resp. und laut produkttopologie sind dann [mm] pr_i^{-1}{(U)}=\produkt_{j\in{I}, j
Sehe da jetzt direkt keinen fehler, aber ich habe mal in topologie ein gegenbeispiel zu [mm] {Kompakt\Rightarrow{Folgenkompakt}} [/mm] gesehen, weiß aber auch, dass Hausdorffsch & Kompakt wirklich Folgenkompaktheit implizieren...
Habe mir eben nochmal das Gegenbeispiel angeschaut (Lynn Arthur Steen - Counterexamples in topology) und dort wird der produktraum [mm] {[0,1]}^{[0,1]} [/mm] betrachtet...dieser ist laut tychonoff kompakt und laut meinem beweis oben auch hausdorffsch und laut steen NICHT folgenkompakt....
jetzt bin ich verwirrt...hat jemand eine idee??
Frage nur hier gestellt versteht sich ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 17.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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