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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:03 Sa 11.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{H}_{p}^{*} [/mm] das äußere p-dimensionale Hausdorff-Maß auf [mm] \IR^n, [/mm] also
[mm] \mathcal{H}_{p}^{*}(A)=\limes_{\delta\rightarrow0}\matcal{H}_{p,\delta}^{*}(A), [/mm] wobei
[mm] \mathcal{H}_{p,\delta}^{*}(A)=inf\{\summe_{j=1}^{\infty}(diam(C_j))^p:A\subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty}C_j, diam(C_j)\le \delta\},
[/mm]
für alle [mm] A\subseteq \IR^n.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{H}_{p}^{*} [/mm] tatsächlich ein äußeres Maß ist. |
Hallo, ich benötige Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe.
Damit [mm] \mathcal{H}_{p}^{*} [/mm] äußeres Maß ist, muss ich zeigen:
(i) [mm] \mathcal{H}_{p}^{*}(\emptyset)=0
[/mm]
(ii) [mm] A\subseteq [/mm] B [mm] (\subseteq X)\Rightarrow \mathcal{H}_{p}^{*}(A)<\mathcal{H}_{p}^{*}(B)
[/mm]
(iii) [mm] \mathcal{H}_{p}^{*}(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j)\le \summe_{j=1}^{\infty}\mathcal{H}_{p}^{*}(A_j) [/mm] für alle [mm] A_j\subseteq [/mm] X
Mir fehlen jedoch die Ansätze zu (i),(ii) und (iii).
Kann mir hierbei jemand helfen?
LG Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Sa 11.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
[mm] \mathcal{H}_{p}^{*}(\emptyset)=\limes_{\delta\rightarrow0}\mathcal{H}_{p,\delta}^{*}(\emptyset)=inf\{\summe_{j=1}^{\infty}(diam(C_j))^p:\emptyset\subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty}C_j,diam(C_j)\le \delta\}=0.
[/mm]
Begründung:
In der Menge aller [mm] \delta [/mm] -Überdeckungen (aller Überdeckungskugeln [mm] C_j) [/mm] der leeren Menge, befinden sich auch die [mm] \delta [/mm] -Überdeckungen für die [mm] \summe_{j=1}^{\infty}(diam(C_j))^p=0 [/mm] gilt. D.h. [mm] \mathcal{H}_{p,\delta}^{*}(\emptyset)=0 [/mm] und weil das für alle [mm] \delta>0 [/mm] gilt, ist auch [mm] \mathcal{H}_{p}^{*}(\emptyset)=0.[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 11.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Sei B eine Obermenge von A. Dann ist jede [mm] \delta [/mm] Überdeckung von B ebenfalls eine solche Überdeckung von A.
Somit gilt: [mm] \mathcal{H}_{p,\delta}^{*}(A)\le \mathcal{H}_{p,\delta}^{*}(B). [/mm] Für [mm] \delta\rightarrow0 [/mm] ergibt sich demnach, dass aus [mm] A\subseteq [/mm] B folgt: [mm] \mathcal{H}_{p}^{*}(A)\le \mathcal{H}_{p}^{*}(B).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mo 13.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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