Hauptzweig und Nebenzweig < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Di 23.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgendes steht in meinem Buch:
Die Funktion [mm] \cos [/mm] ist im Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] streng monoton fallend und bildet dieses Intervall bijektiv auf [-1,1] ab. Die Umkehrfunktion [mm] \arccos: [-1,1]\to\IR [/mm] heißt Arcus-Cosinus.
[...] (ähnliches steht hier noch für [mm] \sin [/mm] und [mm] \tan)
[/mm]
Die oben definierten Funktionen nennt man auch die Hauptzweige von [mm] \arccos, \arcsin [/mm] und [mm] \arctan. [/mm] Für beliebiges [mm] k\in\IZ [/mm] gilt:
a) [mm] \cos [/mm] bildet [mm] [k\pi,(k+1)\pi] [/mm] bijektiv auf [-1,1] ab,
[...]
Die zugehörigen Umkehrfunktionen [mm] \arccos_k: [-1,1]\to\IR, [/mm] [...] heißen für [mm] k\not=0 [/mm] Nebenzweige von [mm] \arccos, \arcsin [/mm] und [mm] \arctan.
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand genauer erklären, was "Hauptzweig" und "Nebenzweig" bedeuten? Ich sehe da im Moment nur den Unterschied, dass es sich beim Hauptzweig nur um die Umkehrfunktion eines bestimmten Intervalls handelt, beim Nebenzweig aber um die Umkehrfunktion jedes beliebigen Intervalls der Länge [mm] \pi. [/mm] Stimmt das so? Kann man das so sagen? Ist das alles?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Di 23.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Es ist reine Willkür, was man als Haupt- und was man als Nebenzweig bezeichnet. Mathematisch betrachtet sind alle Zweige völlig äquivalent.
Bleiben wir mal bei Cosinus: Hier werden als Nebenzweige ja genau die Umkehrfunktionen mit den speziellen Bildern $[k [mm] \pi,(k+1)\pi]$ [/mm] für $k [mm] \ne [/mm] 0$ der Länge [mm] $\pi$ [/mm] bezeichnet, also genau die Intervalle, die durch den Cosinus bijektiv auf $[-1,1]$ abgebildet werden, mit Ausnahme von [mm] $[0,\pi]$ [/mm] (dies ist dann (willkürlich!) der Hauptzweig).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Di 23.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Es ist reine Willkür, was man als Haupt- und was man als
> Nebenzweig bezeichnet. Mathematisch betrachtet sind alle
> Zweige völlig äquivalent.
>
> Bleiben wir mal bei Cosinus: Hier werden als Nebenzweige ja
> genau die Umkehrfunktionen mit den speziellen Bildern [mm][k \pi,(k+1)\pi][/mm]
> für [mm]k \ne 0[/mm] der Länge [mm]\pi[/mm] bezeichnet, also genau die
> Intervalle, die durch den Cosinus bijektiv auf [mm][-1,1][/mm]
> abgebildet werden, mit Ausnahme von [mm][0,\pi][/mm] (dies ist dann
> (willkürlich!) der Hauptzweig).
Danke für die Antwort. Ich habe das jetzt so verstanden, dass es, so wie es hier geschrieben ist, so ist, wie ich es meinte...
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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