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| Aufgabe | Gegeben sei [mm] ln(8z^3) [/mm] = [mm] i((\pi/2)+2k\pi), [/mm] k [mm] \varepsilon [/mm] Z.
Bestimmen Sie alle Hauptwerte der komplexen Größe z , die diese Gleichung
lösen. |
Guten Abend und frohes neues Jahr,
kann mir jemand erklären bzw. zeigen wie man den Hauptwert bestimmt?
Mfg
JamesDean
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Hallo JamesDean,
> Gegeben sei [mm]ln(8z^3)[/mm] = [mm]i((\pi/2)+2k\pi),[/mm] k [mm]\varepsilon[/mm]
> Z.
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> Bestimmen Sie alle Hauptwerte der komplexen Größe z , die
> diese Gleichung
> lösen.
> Guten Abend und frohes neues Jahr,
>
>
> kann mir jemand erklären bzw. zeigen wie man den Hauptwert
> bestimmt?
>
Die Lösungen sind offenbar die
dritten Wurzeln aus einer komplexen Zahl.
Dazu wird die komplexe Zahl in Exponentialform geschrieben:
[mm]a+i*b=r*e^{i*\varphi}[/mm]
Die Lösungen der Gleichung
[mm]z^{3}=r*e^{i*\varphi}[/mm]
ergeben sich nach der Moivre-Formel zu:
[mm]z_{l}=\wurzel[3]{r}*e^{i*\bruch{\varphi+l*2*\pi}{3}}=\wurzel[3]{r}*\left(\cos\left(\bruch{\varphi+l*2*\pi}{3}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+l*2*\pi}{3}\right)\right), \ l=0,1,2[/mm]
Für l=0 erhältst Du den Hauptwert.
>
> Mfg
> JamesDean
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Di 01.01.2013 | | Autor: | JamesDean |
Hallo,
vielen dank für deine Hilfe.
Mfg
James Dean
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