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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Kix |
Hallo!
Hätte eine Frage bezüglich der Ermittlung von Hautptvektoren:
Geg:
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 }
[/mm]
Ein EW ist [mm] \lambda [/mm] = 1, jedoch allg. dim ist 4, also brauchen wir Hauptvektoren.
Man rechten vorerst nun A index [mm] \lambda [/mm] zu
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 }
[/mm]
aus. Soweit alles klar. EV (HV 1. Stufe) ergeben sich zu e1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und e2 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}. [/mm] Okay!
Jetzt kommen die HV 2. Stufe!
Laut meiner Musterlsg. wird das so gemacht: man trägt in einer Art Matrix zunächst [mm] A^{2} [/mm] ein (also eine 4x4 Matrix, zieht einen horizontalen Strich und trägt darunter e1 und e2 (siehe oben) jeweils transponiert ein.
Sieht ungefähr so aus:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - & - & - & - \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 } [/mm] * c = 0
Die Striche sollen eine durchgezogene Linie sein!
Also Lösung kommt e3 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 1} [/mm] heraus!
Meine Frage ist: wie löse ich denn dieses System???
Vielen, vielen Dank schon mal!!!
KIX
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Grüße!
Tja, das folgt aus der allgemeinen Theorie. Die Hauptvektoren 1. Stufe zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] sind ja gerade die Eigenvektoren, also der Kern der Abbildung $B := A - [mm] \lambda I_4$ [/mm] in Deinem Fall. Die Hauptvektoren 2. Stufe erhält man, indem man den Kern von [mm] $B^2$ [/mm] betrachtet - daher quadriert man und schaut sich dann die Lösungsmenge an.
Aber natürlich ist jeder Vektor im Kern von $B$ (in Deinem Fall [mm] $e_1$ [/mm] und [mm] $e_2$) [/mm] auch im Kern von [mm] $B^2$ [/mm] und die möchte man nicht nochmal haben - genauer möchte man die bestehende Basis vom Kern von $B$ am liebsten zu einer Basis vom Kern von [mm] $B^2$ [/mm] ergänzen. Daher muß man sicherstellen, dass man eine Lösung des Systems findet, die linear unabhängig zu den schon gefundenen ist - und das kann man sicherstellen, indem man die Zeilen einfach anfügt. Jeder Lösungsvektor $c$ löst damit nicht nur das System und liegt somit im Kern von [mm] $B^2$, [/mm] sondern ist auch linear unabhängig zu den bereits gefundenen Lösungen, also wirklich etwas Neues.
Alles klar? 
Lars
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