Hauptteil der Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Hauptteil der Funktion f(z) = [mm] \frac{cos(z)}{sin(z)-z}. [/mm] |
Hallo,
mein Ansatz:
[mm] f(z)=\frac{\summe_{i=0}^{\infity}\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}}{(\summe_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!})-z}
[/mm]
so, im prinzip müsste man heir weiter vereinfachen, jedoch macht mir das .....-z unter dem bruch schwierigkeiten.
LG,
HP
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo HP,
> Berechnen Sie den Hauptteil der Funktion f(z) =
> [mm]\frac{cos(z)}{sin(z)-z}.[/mm]
> Hallo,
>
> mein Ansatz:
>
> [mm]f(z)=\frac{\summe_{i=0}^{\infity}\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}}{(\summe_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!})-z}[/mm]
>
> so, im prinzip müsste man heir weiter vereinfachen, jedoch
> macht mir das .....-z unter dem bruch schwierigkeiten.
>
> LG,
> HP
unter dem Summenzeichen sollte natürlich auch stets der Laufindex [mm] $\blue{n}$ [/mm] sein, nicht [mm] $\red{i}$. [/mm]
Selbstverständlich kann man den Nenner bei Dir auch zusammenfassen:
[mm] $$\left(\blue{\summe_{n=0}^{\infty}}\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)-z=\green{\frac{(-1)^0z^1}{1!}}+\left(\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\green{-z}=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
[/mm]
Bringt Dir das allerdings irgendwas? Jetzt steht da der Quotient zweier Reihen. Ich weiß auch gerade nicht, welches der Entwicklungspunkt bei Euch sein soll. Aber wenn man $f$ in einer Laurentreihe um [mm] $z=z_0$ [/mm] entwicklen will, so sollte man natürlich versuchen, so umzuformen, dass man:
[mm] $$f(z)=f_1(z-z_0)+f_2(1/(z-z_0))$$
[/mm]
mit analytischen Funktionen [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] schreiben kann.
(Vgl. ![[]](/images/popup.gif) hier.)
Insofern sehe ich gerade nicht, wie Dich Deine Umformung weiterbringen soll (es kann aber auch sein, dass ich gerade einfach etwas blind bin oder aus der Übung)... Vll. findest Du ja eine andere, die geeigneter ist?
Jedenfalls sollte Dir schon obiger Link, oder aber Satz 32.14, aus diesem Skript, helfen, die Koeffizienten des Hauptteils Deiner gegebenen Funktion $f$ explizit auszurechnen (ggf. guck' auch in Beispiel 30.3 und Bemerkung 30.4, um die Notation [mm] $\int_{|\zeta-z_0|=\varrho}$ [/mm] zu verstehen; ferner solltest Du Dir überlegen, wie man $r$ und $R$ wählen kann, so dass Dein $f$ holomorph (analytisch) in [mm] $V_{r,R}(z_0)=\{z \in \IC: r < |z-z_0| < R\}$) [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Das:
Eine Funktion f habe in $ [mm] z_0 [/mm] $ einen Pol und es sei $ [mm] m\in \IN. [/mm] $
$ [mm] z_0 [/mm] $ ist ein Pol der Ordnung m $ [mm] \gdw [/mm] $
die Funktion h(z)= $ [mm] (z-z_0)^mf(z) [/mm] $ hat in $ [mm] z_0 [/mm] $ eine hebbare Singularität und $ [mm] h(z_0) \not= [/mm] $ 0
habe ich Dir früher schon einmal geschrieben.
Siehst Du damit , dass Deine vorgelegte Funktion in 0 einen Pol der Ordnung 3 hat ?
FRED
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> Siehst Du damit , dass Deine vorgelegte Funktion in 0 einen
> Pol der Ordnung 3 hat ?
>
> FRED
Hallo Fred,
nein, das sehe ich nicht.
Um zunächst einen Pol der Funktion zu suchen muss man die Gleichung
sin(z)-z=0
lösen. Nicht trivial, oder habe ich Tomaten auf den Augen?
D.h. ich sehe nichtmal, was für ein [mm] z_0 [/mm] ich in deinen "satz" einsetzen soll. (mal davon abgesehen, dass ich den zusammenhang mit dem hauptteil der funktion noch nicht sehe)
LG,
HP
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Siehst Du damit , dass Deine vorgelegte Funktion in 0 einen
> > Pol der Ordnung 3 hat ?
> >
> > FRED
>
> Hallo Fred,
>
> nein, das sehe ich nicht.
>
> Um zunächst einen Pol der Funktion zu suchen muss man die
> Gleichung
>
> sin(z)-z=0
>
> lösen. Nicht trivial, oder habe ich Tomaten auf den Augen?
>
> D.h. ich sehe nichtmal, was für ein [mm]z_0[/mm] ich in deinen
> "satz" einsetzen soll. (mal davon abgesehen, dass ich den
> zusammenhang mit dem hauptteil der funktion noch nicht
> sehe)
die Nullstellen von [mm] $n(z):=\sin(z)-z$ [/mm] sind jedenfalls isoliert (warum?). Offensichtlich ist [mm] $z_0=0$ [/mm] eine Nullstelle der Funktion [mm] $\black{n}$. $z_0=0$ [/mm] ist also eine Singularität der Funktion [mm] $\black{f}$. [/mm] Betrachte nun also mal
[mm] $$g(z):=\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}\,,$$
[/mm]
und Du erkennst, was Fred meinte.
Weiterhin: Für [mm] $\black{f}$, [/mm] entwickelt um [mm] $z_0=0$, [/mm] hatte ich Dir schon gesagt
[mm] $a_k=\frac{1}{2\,\pi\,i}\int\limits_{|\zeta|=\varrho} \frac{\cos(\zeta)}{(\sin(\zeta)-\zeta)\zeta^{k+1}}\;\text{d}\zeta$
[/mm]
mit (geeignetem) [mm] $\varrho [/mm] > 0$. Für $k [mm] \le-4$ [/mm] ist der Integrand in einer besonders schönen Form, man sollte an den Cauchyschen Integralsatz denken. Und die [mm] $a_k$ [/mm] für $k=-3$, $k=-2$ und $k=-1$ wirst Du sicher nun berechnen können.
P.S.:
Fred's Hinweis ging wohl darauf hinaus, dass Du [mm] $g(z)=z^3*f(z)$ [/mm] in ihre Potenzreihe (um [mm] $z_0=0$) [/mm] entwickeln solltest. Wenn Du dann [mm] $g(z)=\sum_{k=0}^\infty b_k z^k$ [/mm] hast, dann kannst Du hier mit [mm] $f(z)=\frac{g(z)}{z^3}$ [/mm] den Hauptteil von $f$ ablesen [mm] ($a_{k-3}=b_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_0$...)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(zunächst einmal ein nachtrag: die funktion soll um 0 entwickelt werden.)
Hallo ihr zwei,
danke für eure antworten, aber in der vorlesung hatten wir nur die defintion der laurentreihe (und es wurde gesagt, was haupt- und nebenteil ist).
d.h. bisher war die suche nach einer laurentreihe mehr oder weniger "geschicktes" probieren/umformen.
d.h. ich wollte den term vereinfachen und hatte gehofft dann die laurentreihe dortstehen zu haben.
evtl habt ihr noch einen tipp für mich, da ich mit den von euch genannten sätzen nicht viel anfangen kann/darf.
LG,
HP
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Di 21.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo HP,
> (zunächst einmal ein nachtrag: die funktion soll um 0
> entwickelt werden.)
>
> Hallo ihr zwei,
>
> danke für eure antworten, aber in der vorlesung hatten wir
> nur die defintion der laurentreihe (und es wurde gesagt,
> was haupt- und nebenteil ist).
>
> d.h. bisher war die suche nach einer laurentreihe mehr oder
> weniger "geschicktes" probieren/umformen.
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> d.h. ich wollte den term vereinfachen und hatte gehofft
> dann die laurentreihe dortstehen zu haben.
>
> evtl habt ihr noch einen tipp für mich, da ich mit den von
> euch genannten sätzen nicht viel anfangen kann/darf.
also ehrlich gesagt, fällt mir auch nicht mehr ein, als das, was bereits gesagt wurde. Das sollte aber auch mit den Dir zur Verfügung stehenden Mitteln machbar sein:
1.) Überlege Dir, dass die Funktion $f(z)$ einen Pol der Ordnung $3$ an der Stelle $z_0=0$ hat, und zwar durch
2.) Betrachtung der Funktion $$g(z):=z^3*f(z)\,.$$
Zeige:
Diese ist analytisch in $z_0=0$ (d.h. es gibt (mindestens) ein $\black{r} > 0$ so, dass die Funktion $g(z)$ holomorph/analytisch auf der (offenen) Kreisscheibe $U_r(0)=\{z \in \IC: |z| < r\}$ ist).
3.) Daher kann man $g(z)$ (zumindest auf $U_r(0)$) in eine Potenzreihe entwickeln, so dass $g(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_k (z-0)^k \equiv \sum\limits_{k=0}^\infty b_k z^k$ (auf $U_r(0)$).
Dabei gilt $b_k=\frac{g^{(k)}(0)}{k!}$ (Stichwort: Taylorreihe). (Du musst Dir natürlich überlegen, wie $g^{(k)}(0)$ aussehen sollte. Z.B. ist ja $g^{(0)}(0):=-6$ zu setzen, was Du Dir vll. überlegen kannst...; wobei ich hoffe, dass das stimmt, denn ich habe das nur mit einem Plotter herausgefunden, weil ich zu faul war um Hospital mehrfach anzuwenden!)
4.) Mit $g(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_k z^k$ gilt dann $f(z)=z^{-3}*g(z)=\underbrace{\underbrace{b_0}_{=:a_{-3}} z^{-3}+\underbrace{b_1}_{=:a_{-2}} z^{-2}+\underbrace{b_2}_{=:a_{-1}} z^{-1}}_{\text{Hauptteil der Laurentreihe der Funktion }f(z) \text{ um }z_0=0}}+\sum\limits_{k=0}^\infty \underbrace{b_{k+3}}_{=:a_k}z^k$
5.) Solltest Du Dir die Mühe gemacht haben und alle $b_k$ explizit ausgerechnet haben, kannst Du sicher auch das bestmögliche (im Sinne von "größte") $\black{r} > 0$ aus 2.) angeben. Ich habe allerdings nach etwas (lästiger) Rechnerei keine Lust mehr gehabt (weder weiterzurechnen, noch nach einer Regel für die $b_k$ zu suchen).
Wenn man das allerdings geschafft hat und je nachdem, was man für ein $\black{r} > 0$ erhält (vll. gar $r=\infty$), kann man sich sicher auch nochmal Gedanken über die Polstellen der Funktion $f(z)=\cos(z)/(\sin(z)-z)$ machen. Ich hab' das ganze aber auch selbst nicht zu Ende gedacht, vll. zielt die Aufgabe auch explizit darauf ab, nur den Hauptteil der Laurentreihe um den Pol $z_0=0$ zu berechnen. Ggf. weiß ja auch Fred noch etwas dazu zu sagen?
Ich selbst kenne also die Potenzreihenentwicklung von $g(z)=\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}$ nicht, allerdings kann man sich auch, ohne zu wissen, wie diese explizit aussieht, überlegen, dass die Funktion $g(z)$ an der Stelle $z_0=0$ in eine Potenzreihe entwickelbar ist. Mehr habe ich bisher auch nicht getan. Und damit kann man natürlich insbesondere $b_0,...,b_2$ und damit auch $a_{-3},...,a_{-1}$ explizit ausrechnen und hinschreiben, und hat damit auch den Hauptteil der Laurentreihe von $f(z)$ um $z_0=0$.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich habe mir die letzten Tage nochmals einige Stunden den Kopf zerbrochen, habe aber trotz der zahlreichen tips die aufgabe für mich nicht zufriedenstellend lösen können. (d.h. ich habe zwar was auf dem papier stehe, so richtig verstanden habe ich es aber noch nicht...)
wie erkennt man an:
[mm] g(z):=\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}
[/mm]
dass die polstelle die ordnung 3 hat. (bzw. warum hat g(z) eine hebbare polstelle?)
Wenn ich [mm] \frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z} [/mm] um 0 in eine Taylorreihe entwickle kommt folgendes Raus:
[mm] \frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z} \approx [/mm] -6 + [mm] \frac{27z^2}{10}-\frac{151z^6}{126000}+\frac{839z^8}{129360000} [/mm] + ...
d.h. der hauptteil von [mm] \frac{\cos(z)}{\sin(z)-z} [/mm] ist folgendes (ich muss die exponenten jeweils um 3 reduzieren, richtig? ist nur eine vermutung/gefühl von mir, kann mir jemand was dazu sagen?)?
[mm] \frac{-6}{z^3}+\frac{27}{10z}
[/mm]
LG,
HP
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:27 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe mir die letzten Tage nochmals einige Stunden den
> Kopf zerbrochen, habe aber trotz der zahlreichen tips die
> aufgabe für mich nicht zufriedenstellend lösen können.
> (d.h. ich habe zwar was auf dem papier stehe, so richtig
> verstanden habe ich es aber noch nicht...)
>
> wie erkennt man an:
>
> [mm]g(z):=\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}[/mm]
>
> dass die polstelle die ordnung 3 hat. (bzw. warum hat g(z)
> eine hebbare polstelle?)
>
> Wenn ich [mm]\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}[/mm] um 0 in eine
> Taylorreihe entwickle kommt folgendes Raus:
>
> [mm]\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z} \approx[/mm] -6 +
> [mm]\frac{27z^2}{10}-\frac{151z^6}{126000}+\frac{839z^8}{129360000}[/mm]
> + ...
ich habe das nicht kontrolliert, aber mithilfe der Taylorreihenentwicklung von [mm] $\black{g}$ [/mm] sieht man doch schon, dass $g$ an der Stelle [mm] $z_0=0$ [/mm] eine hebbare Singularität hat. ($g(0):=-6$ ist zu setzen.)
(Sofern man dann irgendwie begründet, warum die Taylorreihenentwicklung um [mm] $z_0=0$ [/mm] auch $g$ auf [mm] $U_r(0) \setminus\{0\}$ [/mm] darstellt (mit einem genügend kleinen $r > 0$).)
Man kann das aber auch auf anderem Wege begründen, denke z.B. an Hospital, den Riemannschen Hebbarkeitssatz und und und...
(Wobei es durchaus sein kann, dass man erst eines dieser Argumente braucht, um danach überhaupt folgern zu können, dass die obige Taylorreihenentwicklung auch $g$ auf [mm] $U_r(0)\setminus\{0\}$ [/mm] darstellt. ICh bin gerade zu müde, von daher verzeihe man mir, wenn ich mich hier vll. ein wenig im Kreis gedreht habe...)
> d.h. der hauptteil von [mm]\frac{\cos(z)}{\sin(z)-z}[/mm] ist
> folgendes (ich muss die exponenten jeweils um 3 reduzieren,
> richtig? ist nur eine vermutung/gefühl von mir, kann mir
> jemand was dazu sagen?)?
> [mm]\frac{-6}{z^3}+\frac{27}{10z}[/mm]
Sollte Deine Taylorreihenentwicklung stimmen, dann stimmt sicher auch der Hauptteil der Laurentreihe der Funktion $f$ um [mm] $z_0=0$ [/mm] entwickelt (jedenfalls auf [mm] $U_r(0)$). [/mm]
Vielleicht hat ja auch noch jemand mal Lust, das ganze nachzurechnen. Ich bin auch gerne bereit, Deine Rechnung zur Taylorreihe zu kontrollieren, aber eigentlich ist's mir hier zu mühselig, die Taylorreihe nun selbst aufzustellen... Zumal ich nun auch zu müde bin.
Daher auch "nur" eine Mitteilung.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Sa 25.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> ich habe mir die letzten Tage nochmals einige Stunden den
> Kopf zerbrochen, habe aber trotz der zahlreichen tips die
> aufgabe für mich nicht zufriedenstellend lösen können.
> (d.h. ich habe zwar was auf dem papier stehe, so richtig
> verstanden habe ich es aber noch nicht...)
>
> wie erkennt man an:
>
> [mm]g(z):=\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}[/mm]
>
> dass die polstelle die ordnung 3 hat. (bzw. warum hat g(z)
> eine hebbare polstelle?)
Die Taylorreihe von [mm] $\sin [/mm] z-z$ beginnt mit dem Term [mm] $-z^3/6$. [/mm] Also hat der Nenner bei $z=0$ eine Nullstelle 3. Ordnung. Da der Zähler [mm] $z^3\cos(z)$ [/mm] auch eine Nullstelle 3. Ordnung hat (die Taylorreihe beginnt mit dem Term [mm] $z^3$), [/mm] ist die Singularität hebbar.
> Wenn ich [mm]\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}[/mm] um 0 in eine
> Taylorreihe entwickle kommt folgendes Raus:
>
> [mm]\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z} \approx[/mm] -6 +
> [mm]\frac{27z^2}{10}-\frac{151z^6}{126000}+\frac{839z^8}{129360000}[/mm]
> + ...
Korrekt. Wenn die Singularität nicht hebbar wäre, ginge das nicht.
> d.h. der hauptteil von [mm]\frac{\cos(z)}{\sin(z)-z}[/mm] ist
> folgendes (ich muss die exponenten jeweils um 3 reduzieren,
> richtig? ist nur eine vermutung/gefühl von mir, kann mir
> jemand was dazu sagen?)?
> [mm]\frac{-6}{z^3}+\frac{27}{10z}[/mm]
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
wie habt ihr denn diese taylorreihe aufgestellt:
[mm] \frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z} \approx \frac{27z^2}{10}-\frac{151z^6}{126000}+\frac{839z^8}{129360000}
[/mm]
wenn ich das versuche, habe ich immer ein problem mit den singularitäten, da [mm] \frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z} [/mm] und die ableitungen davon an 0 nicht definiert sind. sie haben hier zwar eine hebbare singularität, wie auch in diesem thread schon gesagt wurde, aber ich bekomme die taylorreihe trotzdem nicht aufgeschrieben.
meine versuche bisher:
[mm] z^3\cos(z) [/mm] und [mm] \sin(z)-z [/mm] einzeln in taylorreihen entwickeln und dann durcheinander teilen: das geht nicht, da ich den nenner ja nicht komplett etnwickeln kann.
[mm] \frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z} [/mm] als ganzen um 0 entwickeln. hier ist das problem aber, dass man (auch in allen ableitungen) immer durch 0 teilt...
gruß,
rutzel
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Hallo,
ich muss gestehen, dass ich die taylorentwicklung gestern nacht von mathematica habe machen lassen, in der hoffnung, ich würde was sehen. da sich was sinvolles ergeben hat, habe ich hier einfach nochmal nachgefragt, ob mein "gedankengang" richtig war. ich habe gedacht, ich würde die taylorwntwicklung schon hinbekommen, ist ja "nur ableiten"...
jetzt habe ich es aber nochmals aufschreiben und per hand nachrechnen wollen, und sitze am gleichen problem wie du...
(habe mich übrigend gestern bei der taylorreihe verschrieben. se lautet richtig:
[mm] \frac{z^3 cos(z)}{sin(z)-z} \approx [/mm] -6 + [mm] \frac{27z^2}{10}-\frac{151z^4}{1400}-\frac{47z^6}{126000}+\frac{839z^8}{129360000}
[/mm]
)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 So 26.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> wie habt ihr denn diese taylorreihe aufgestellt:
> [mm]\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z} \approx \frac{27z^2}{10}-\frac{151z^6}{126000}+\frac{839z^8}{129360000}[/mm]
>
> wenn ich das versuche, habe ich immer ein problem mit den
> singularitäten, da [mm]\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}[/mm] und die
> ableitungen davon an 0 nicht definiert sind. sie haben hier
> zwar eine hebbare singularität, wie auch in diesem thread
> schon gesagt wurde, aber ich bekomme die taylorreihe
> trotzdem nicht aufgeschrieben.
>
> meine versuche bisher:
> [mm]z^3\cos(z)[/mm] und [mm]\sin(z)-z[/mm] einzeln in taylorreihen
> entwickeln und dann durcheinander teilen: das geht nicht,
> da ich den nenner ja nicht komplett etnwickeln kann.
Das verstehe ich nicht. Du hast doch die Entwicklungen des Zählers und des Nenners:
[mm] z^3\cos(z) = \summe_{n=0}^\infty (-1)^n \bruch{z^{2n+3}}{(2n)!} [/mm]
[mm] \sin z - z = \summe_{n=1}^\infty (-1)^n \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
Dann kannst du die beiden Reihen dividieren. Eine Möglichkeit ist es, die geometrische Reihe zu benutzen:
[mm] \sin z - z = \summe_{n=1}^\infty \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = - \bruch{z^3}{6} + \summe_{n=2}^\infty \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = - \bruch{z^3}{6} \left (1 - 6\summe_{n=2}^\infty \bruch{z^{2n-2}}{(2n+1)!} \right) [/mm]
Mit [mm] q= 6\summe_{n=2}^\infty \bruch{z^{2n-2}}{(2n+1)!} [/mm] ist also
[mm] \bruch{1}{\sin z -z } = -\bruch{6}{z^3} \summe_{k=0}^\infty q^k [/mm]
Das sieht sehr unangenehm aus, ist aber ist diesem Fall ganz einfach: der erste Term in q ist [mm] $z^2$. [/mm] Für die Bestimmung des Hauptteils reicht es daher, nur die ersten Summanden zu betrachten.
Im Allgemeinen ist es einfacher, zwei Reihen mit Hilfe der Cauchy-Produktformel zu dividieren. Dazu schreibst du
[mm] \summe c_nz^n = \bruch{\summe a_nz^n}{\summe b_nz^n} \gdw \summe c_nz^n \summe b_nz^n = \summe a_nz^n [/mm],
formst die linke Seite mit der Cauchy-Produktformel um und leitest durch Koeffizientenvergleich eine Rekursionsformel für die Koeffizienten [mm] $c_n$ [/mm] ab:
[mm] c_0 = \bruch{a_0}{b_0}, \quad c_n = \bruch{1}{b_0} \left( a_n - \summe_{k=0}^{n-1} c_kb_{n-k} \right)[/mm] .
(Diese Formel lässt sich einfach auf Laurentreihen mit endlichem Hauptteil erweitern.)
> [mm]\frac{z^3\cos(z)}{\sin(z)-z}[/mm] als ganzen um 0 entwickeln.
> hier ist das problem aber, dass man (auch in allen
> ableitungen) immer durch 0 teilt...
Was hindert dich daran, den Grenzwert für [mm] $z\to0$ [/mm] zu berechnen, zum Beispiel mit der Regel von l'Hospital?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:22 So 26.10.2008 | | Autor: | HansPhysikus |
Hallo Rainer,
aber wie kommst du dann auf die taylorreihe?
Wenn ich die ersten Summanden von [mm] \frac{1}{sin(z)-z} [/mm] aufschreibe:
[mm] \frac{1}{sin(z)-z} \approx \frac{-6}{z^3}\left(1+\frac{6z^2}{5!}+...\right)
[/mm]
und von z^3cos(z):
z^3cos(z) [mm] \approx \frac{z^3}{1}-\frac{z^5}{2} \pm...
[/mm]
und miteinander multipliziere:
[mm] \left(\frac{-6}{z^3}\left(1+\frac{6z^2}{5!}+...\right)\right)\cdot\left(\frac{z^3}{1}-\frac{z^5}{2} \pm...\right)
[/mm]
= -6 +...
und dann kommt irgendwas, was nichtmehr in der taylorreihe steht.
LG,
HP
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hallo rainer,
ich habe das ergebnis mit der methode in meinem letzten beitrag gefunden. ich hatte mich vorhin nur städnig verrechnet....
danke für deine hilfe.
LG,
HP
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