Hauptsatz der Diff.- u. Integr < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Di 13.09.2005 | | Autor: | Per21 |
Hallo,
die Frage ist sehr kurz und ich hoffe endlich mal eine Antwort zu finden.
Der hauptsatz der Differential- und Integralrechnung habe ich seit der Schule, ohne es unter diesen Namen zu kennen, gelernt, verstanden und benutzt.
Nun jetzt in der Uni, kommen die ganze Beweise hinzu, mit denen man nicht immer zurecht kommt.
Kann mir jemand den Hauptsatz geometrisch erklaeren? Ich meine warscheinlich, so wie man die Differentialrechnung geometrisch durch Tangenten an den verschiedenen punkten einer Fkt. erklaeren kann, soll auch so eine geom. Erklaerung fuer den Hauptsatz geben.
Ich kann mir einfach nicht vorstellen, wieso das Integral gleich die Stammfkt. des Integranten ist.
Rechnerisch funktioniert, aber wie kam man darauf.
Danke in Voraus die Antworten,
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Di 13.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ach, Leute, ihr immer mit euer Anschauung und Geometrie. Warum muss das denn immer sein? Ist die Analysis und Algebra nicht alleine und abstrakt so wunderschön, dass man sie sich mit Anschauungen nicht unnötig versauen muss? 
Aber nun gut  : Für kleine $h$ gilt ja
[mm] $\frac{d}{dx} \int\limits_a^x f(t)\, [/mm] dt [mm] \approx \frac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} f(t)\, [/mm] dt$.
Den letzten Wert kann man als Art "Mittelwert" von $f$ im Intervall $[x,x+h]$ interpretieren, der natürlich für $h [mm] \downarrow [/mm] 0$ gegen $f(x)$ konvergiert.
Oder anders: Für kleine $h$ ist [mm] $\int\limits_x^{x+h} f(t)\, [/mm] dt$ "fast" die Fläche eines Rechtecks mit Seitenlängen $h$ und $f(x)$. Wenn ich jetzt diesen Flächeninhalt durch die eine Seitenlänge $h$ teile, was bleibt dann näherungsweise übrig? Genau, die andere Seitenlänge, also $f(x)$.
Ohoh. lassen wir das jetzt mal... Ich hoffe es hilft dir trotzdem...
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Di 13.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Julius hat dir ja ne Antwort gegeben, die nahe an dem Beweis liegt.
Ich denk eher, dass du dir das vorstellen willst, also ohne Formeln, und mach drum einen sehr einfachen Versuch:
Stell dir vor, jemand gibt dir für jeden waagerechten meter eins Weges die Steigung an. Dann wär dir klar, wie du die Höhe nach einem bestimmten Weg ausrechnen würdest: jeden Meter mit der Steigung multiplizieren und die Summe ausrechnen. jetzt nimmst du statt 1m 1mm und da die Steigung, und addierst wieder auf usw, die Schritte immer kleiner, immer mehr zu summieren. die Höhe(x) =Funktionswert(x) kannst du so an jeder Stelle bestimmen.
Und woher hattest du die Steigungen? Jemand kluger hatte sie aus den Ableitungen bestimmt.
Anderes Bild, mehr physikalisch: du kennst die Geschwindigkeit v(t) in Abhängigkeit von der Zeit, etwa durch einen Fahrtenschreiber. Den Weg s(t) bestimmst du, indem du Geschwindigkeit mal kleine Zeitabschnitte aufaddierst. Also Summe [mm] v*\Deltat [/mm] wieder umso besser je kleiner [mm] \Deltat [/mm] !
Und woher kennt man v, wenn man keinen Fahrtenschreiber hat? natürlich
[mm] \bruch{\Deltas}{\Deltat}!
[/mm]
Also Summieren der Ableitung [mm] *\Deltax [/mm] ergibt die Funktion, ganz anschaulich.
Der "unanschauliche" Anteil ist bei Ableitung und Integral der Übergang von endlich grossen zu bel kleinen Intervallen, aber das hast du ja schon geschluckt!
war das die gesuchte "Veranschaulichung"?
Gruss leduart
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