Hauptsatz abelsche Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:55 Di 04.12.2007 | | Autor: | achso |
Hallo,
es gibt ja zwei Formulierungen des Hauptsatzes für endlich erzeugte abelsche Gruppen. Wir sollen die eine aus der anderen herleiten.
Die uns vorliegende Formulierung besagt:
Eine endliche, abelsche Gruppe ist isomorph zu einer direkten Summe zylischer Gruppen von Primpotenzordnung. Die Ordnungen dieser zyklischen Gruppen sind bis auf Reihenfolge eindeutig.
Die Varianten mit G [mm] \cong C_{n_1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus C_{n_s}, [/mm] wobei [mm] n_i [/mm] Teiler von [mm] n_{i+1} [/mm] ist, sollen wir herleiten.
Aber ich bekomme das nicht so richtig hin.
Sei also 1<G eine endliche abelsche Gruppe. Dann existiert eine bis auf Reihenfolge eindeutige Darstellung
G [mm] \cong C_1 \oplus [/mm] ... [mm] \oplus C_m
[/mm]
Dabei sind die [mm] C_i [/mm] von Primpotenzordnung. Das einzige, was mir dazu noch einfällt ist, dass wenn [mm] |C_i| [/mm] = n, n=pq mit ggT(p,q)=1 dann ist [mm] C_i \cong C_p \oplus C_q. [/mm] Wenn ich die [mm] C_i [/mm] erst auf diese Weise zerlege müsste ich ja zeigen, dass sich beim "Zusammenfügen" von Gruppen teilerfremder Ordnungen eben die Eigenschaft ergibt, dass jeweils [mm] n_i [/mm] ein Teiler von [mm] n_{i+1} [/mm] wäre.
Hat jemand eine Idee, wie man das besser lösen könnte?
(Ich vermute mal, der Hauptsatz ist bekannt. Sonst kann ich ihn natürlich noch gerne abtippen)
Schonmal danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 So 09.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 So 09.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> es gibt ja zwei Formulierungen des Hauptsatzes für endlich
> erzeugte abelsche Gruppen. Wir sollen die eine aus der
> anderen herleiten.
>
> Die uns vorliegende Formulierung besagt:
> Eine endliche, abelsche Gruppe ist isomorph zu einer
> direkten Summe zylischer Gruppen von Primpotenzordnung. Die
> Ordnungen dieser zyklischen Gruppen sind bis auf
> Reihenfolge eindeutig.
>
> Die Varianten mit G [mm]\cong C_{n_1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus C_{n_s},[/mm]
> wobei [mm]n_i[/mm] Teiler von [mm]n_{i+1}[/mm] ist, sollen wir herleiten.
>
> Aber ich bekomme das nicht so richtig hin.
> Sei also 1<G eine endliche abelsche Gruppe. Dann existiert
> eine bis auf Reihenfolge eindeutige Darstellung
>
> G [mm]\cong C_1 \oplus[/mm] ... [mm]\oplus C_m[/mm]
>
> Dabei sind die [mm]C_i[/mm] von Primpotenzordnung. Das einzige, was
> mir dazu noch einfällt ist, dass wenn [mm]|C_i|[/mm] = n, n=pq mit
> ggT(p,q)=1 dann ist [mm]C_i \cong C_p \oplus C_q.[/mm]
Genau, das brauchst du dazu. Ich mach dir mal ein kleines Beispiel vor:
Sei $G [mm] \cong C_2 \times C_{2^3} \times C_{2^4} \times C_{3^2} \times C_{3^2} \times C_5 \times C_5 \times C_{5^2} \times C_7$.
[/mm]
Jetzt schreibst du dir folgendes Schema auf:
[mm]\begin{tabular}{ccc} $2^1$ & $2^3$ & $2^4$ \\ & $3^2$ & $3^2$ \\ $5$ & $5$ & $5^2$ \\ & & $7$ \end{tabular}[/mm]
Also jeweils die Primzahlpotenzen nach Primzahl und Potenz geordnet.
Jetzt multiplizierst du alles, was in einer Spalte steht, zusammen; dann bekommst du $2 [mm] \cdot [/mm] 5$, [mm] $2^3 \cdot 3^2 \cdot [/mm] 5$, [mm] $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot [/mm] 7$. Das sind jetzt die [mm] $m_i$: [/mm] damit ist naemlich $G [mm] \cong C_{2 \cdot 5} \times C_{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5} \times C_{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7}$.
[/mm]
Das Spalte zusammenmultiplizieren ist die Anwendung von [mm] $C_{m n} \cong C_m \times C_n$ [/mm] falls $n, m$ teilerfremd, und das Sortieren nach aufsteigenden Potenzen ist die Bedingung, dass [mm] $m_i$ [/mm] ein Teiler von [mm] $m_{i+1}$ [/mm] ist.
LG Felix
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