Hauptidealring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Di 07.06.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Ist [mm] \IZ[ \wurzel[2]{2}]={a+b\wurzel[2]{2}:a,b \in\IZ} [/mm] ein Hauptidealring?
Wie zeigt man das? Gibt es dazu ein Rezept?
Vielen Dank und liebe Grüße P
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
Man kann leicht zeigen, das [mm] $\IZ[\sqrt{2}]$ [/mm] via
[mm] $\delta(z):= |a^2-2b^2|$ [/mm] für [mm] $z=a+b\sqrt{2}$, $a,b\in \IZ$,
[/mm]
zu einem euklidischen Ring und damit zu einem Hauptidealring wird (denn jeder euklidische Ring ist ja ein Hauptidealring).
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Di 07.06.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Mir ist klar, dass jeder euklidische Ring ein Hauptidealring ist, aber wie kommst du auf diesen Ansatz? Und wie macht man damit weiter?
Vielen Dank für deine Hilfe, komme allein nicht zurecht
Viele Grüße P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, ich zeige jetzt, dass es ein euklidischer Ring ist.
Seien [mm] $u=a+b\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $v=c+d\sqrt{2}$ [/mm] aus [mm] $\IZ[\sqrt{2}]$ [/mm] gegeben, beide von Null verschieden. In [mm] $\IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] existiert [mm] $v^{-1}$, [/mm] und es sei:
[mm] $uv^{-1} [/mm] = [mm] s+t\sqrt{2}$, [/mm] $s,t [mm] \in \IQ$.
[/mm]
Seien nun $x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] so gewählt, dass $|s-x| [mm] \le \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $|t-y|\le \frac{1}{2}$.
[/mm]
Wir setzen: [mm] $q:=x+y\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $r:=v(uv^{-1}-q)$, [/mm] also: $r=qv-u [mm] \in \IZ[\sqrt{2}]$.
[/mm]
Dann gilt entweder $r=0$ oder
[mm] $\delta(r) =\delta(v) \delta(uv^{-1}-q) [/mm] = [mm] \delta(v) \cdot |(s-x)^2-2(t-y)^2)| \le \delta(v) \left| \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4}\right|< \delta(v)$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Ich sehe gerade, dass ich vorhin [mm] $\delta$ [/mm] falsch definiert hatte, fürchte ich. Ich schaue mal nach und wenn ja, dann verbessere ich es noch im ersten Beitrag. 
Viele Grüße
Julius
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