Hauptidealring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich werde mich einer Diplomprüfung in " Grundlagen der Kryptographie " ( größter Teil der Prüfung ) und "Codierungstheorie" unterziehen und leider ist Algebra mein absoluter Schwachpunkt :-( !
Im §1 Arithmetik ( Hauptidealringe ) tauchen schon leider Verständnisprobleme auf... Nachdem wir das Hauptideal definiert haben, taucht folgendes Beispiel auf :
Beispiel :
[mm] \mathbb Z \left[ x \right] [/mm] ist kein Hauptidealring!
Wenn ich das richtig verstehe, heißt dass, dass nicht jedes Ideal ein Hauptideal ist, richtig ??
Als Beweis ist in der Vorlesung ein Beispiel gerechnet worden, welches ich leider nicht nachvollziehen kann.
ALSO:
Man wähle [mm] \mathfrak a = 2 \cdot \mathbb Z \left[x \right] + x \cdot \mathbb Z \left[x \right] = \{ 2 R + x S \ | \ R,S \in \mathbb Z \left[ x \right] \} [/mm]
( Frage: Also, ist [mm] \mathfrak a [/mm] ein Ideal, dass von 2 und x erzeugt wird ? )
Angenommen:
[mm] \mathfrak a = P \cdot \mathbb Z \left[ x \right], P = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n [/mm].
[mm] x = P \cdot Q_1 , Q_1 \in \mathbb Z \left[ x \right] [/mm]
[mm] [mm] \Rightarrow [/mm] P = + x, - x, + 1, -1 [mm]
[mm] 2 = P \cdot Q_2 , Q_2 \in \mathbb Z \left[ x \right] [/mm]
[mm] = ( \pm x ) \cdot Q_2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
Leider verstehe ich nach dem "Angenommen" nicht viel. Ist es möglich mir dieses Beispiel zu erklären und vorallem wo genau der Widerspruch liegt.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo
also erstmal ist es richtig, dass nicht jedes Ideal ein Hauptideal ist. Es gilt: Für jeden Körper [mm] \IK [/mm] (das ist wichtig!!!) ist [mm] \IK[x] [/mm] ein Hauptidealring, dass heißt jedes Ideal lässt sich von einem Element aus K[x] erzeugen. Für [mm] \IZ[x] [/mm] gilt das [mm] nicht(\IZ [/mm] ist ja kein Körper).
So nun hast du das Ideal gegeben, welches von $x$ und $2$ erzeugt wird, also $I=(x,2)$ und als Menge nehme ich [mm] \IZ[x]. [/mm] Das was du geschrieben hast meint dasselbe. Das ist ein Ideal, denn wenn ich was aus Z[x] ranmultipliziere, lande ich wieder in [mm] \IZ[x]. [/mm] Wäre das jetzt ein Hauptideal, dann würde ja ein Element aus [mm] \IZ[X] [/mm] existieren würde, bei dir heißt das $P$, sodass sich ganz [mm] $\mathfrak [/mm] a $ damit erzeugen lasst. Insbesondere muss sich ja auch x damit erzeugen lassen. Also existiert ein Polynom [mm] Q_{1} \in \IZ[x], [/mm] sodass [mm] x=P\cdot Q_{1}. [/mm] So jetzt überlegen wir mal wie wir $x$ basteln können, Erste Möglichkeit: P ist eine Einheit(1,-1), dann ist Q ja automatisch $x$ bzw $-x$. Zweite Möglichkeit: $P$ ist keine Einheit, dann muss $P$ $x$ oder $-x$ sein, weil man ansonsten wegen [mm] \deg(PQ_{1})=deg(P)+deg(Q_{1}) [/mm] der Grad zu groß wird. Also haben wir herausgefunden: P ist entweder: $x$, $-x$, 1, -1.
So nu machen wir das selbe Spiel mit der 2.
[mm] 2=P\cdot Q_{2}. [/mm] Nun haben sie bei dir das so gemacht: Wähle [mm] $P=\pm [/mm] x$. Dann ist $P [mm] \cdot Q_{2}$ [/mm] entweder ein Polynom mindestens vom Grad 1 oder vom Grad 0, wenn [mm] Q_{2} [/mm] das Nullpolynom ist. Egal wie man es dreht, die 2 bekommst du nicht dargestellt. Wähle ich nun [mm] $P=\pm [/mm] 1$, dann kann ich zwar die 2 erzeugen, aber dafür habe ich ein Element genommen, was gar nicht in [mm] $\mathfrak [/mm] a$ war. Hier liegt der Widerspruch egal wie man es dreht, man bekommt die 2 oder das $x$ nicht mit demselben $P$ dargestellt [mm] \Rightarrow [/mm] (x,2) ist kein Hauptideal [mm] \Rightarrow \IZ[x] [/mm] ist kein Hauptidealring
Gruß
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