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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mo 12.07.2004 | | Autor: | seppdepp |
Hallo an alle ...
Ich hab mal eine Frage zu Hauptidealen in [mm] $\IZ$:
[/mm]
Wenn $j$ eine ganze Zahl ist, gilt dann
[mm] $(p^j) \not=(p^{j-1})$ [/mm] f"ur alle ganze Zahlen $p$, oder nur
f"ur Primzahlen? Mit [mm] $(p^j)$ [/mm] ist hier das von [mm] $p^j$ [/mm] erzeugte
Hauptideal gemeint.
Zu der Frage musss man sagen,
dass die Behauptung [mm] $(p^j) \not=(p^{j-1})$ [/mm] in einem Beweis auftaucht,
wo $p$ als Primzahl vorausgesetzt wurde. Diese Voraussetzung wird aber an keiner anderen Stelle gebraucht und ich bin der Meinung, dass die
Behauptung [mm] $(p^j) \not=(p^{j-1})$ [/mm] f"ur alle ganzen Zahlen gilt, da
[mm] $p^{j-1}$ [/mm] nicht in [mm] $(p^j)$ [/mm] enthalten ist [mm] ($p^j$ [/mm] teilt sicher nicht [mm] $p^{j-1}$). [/mm] Aber wenn das f"ur alle ganzen Zahlen $p$ gelten w"urde, dann h"atte ich eine Voraussetzung nicht gebraucht, was mich etwas verwirrrt. Also helft mir bitte.
MfG
Georg
[Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.]
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Hallo seppdepp,
> Wenn [mm]j[/mm] eine ganze Zahl ist, gilt dann
> [mm](p^j) \not=(p^{j-1})[/mm] f"ur alle ganze Zahlen [mm]p[/mm], oder nur
> f"ur Primzahlen? Mit [mm](p^j)[/mm] ist hier das von [mm]p^j[/mm] erzeugte
> Hauptideal gemeint.
Diese Aussage gilt nicht nur für Primzahlen, sondern für jede ganze Zahl außer 0, +1, -1. Den Beweis hast du bereits selbst erbracht.
> Zu der Frage musss man sagen, dass die Behauptung
> [mm](p^j) \not=(p^{j-1})[/mm] in einem Beweis auftaucht,
> wo [mm]p[/mm] als Primzahl vorausgesetzt wurde. Diese Voraussetzung
> wird aber an keiner anderen Stelle gebraucht [...]
> Aber wenn das f"ur alle ganzen Zahlen [mm]p[/mm]
> gelten w"urde, dann h"atte ich eine Voraussetzung nicht
> gebraucht, was mich etwas verwirrrt.
Wie lautet denn die Aussage des Satzes? Es könnte ja sein, dass für einen verwendeten Hilfssatz die Voraussetzung nötig ist.
Gruss,
SirJective
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