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| Aufgabe | Eine Kurve zweiter Ordnung ist durch die Gleichung
[mm] $-4x_1x_2 [/mm] + [mm] 2x_2^{2} [/mm] = 4$
gegeben. Bestimmen Sie den Typ der Kurve, und zeichnen Sie die Kurve in der [mm] (x_1; x_2)-Ebene. [/mm] |
Gut zuerst hab ich mal eine Matrix aus der Gleichung herausgelesen:
A = [mm] \pmat{ 0 & -2 \\ -2 & 2 }
[/mm]
Dann hab ich die Eigenwerte bestimmt:
Das charakteristische Polynom ist ja [mm] (0-\lambda)(2-\lambda)-4
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] 1+\wurzel{5}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] 1-\wurzel{5}
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] \lambda_1:
[/mm]
[mm] (A-\lambda I)\vec{v} [/mm] = 0
[mm] \pmat{ 0-\lambda_1 & -2 \\ -2 & 2-\lambda_1 }\vec{v} [/mm] = 0
[mm] \pmat{ -1-\wurzel{5} & -2 \\ -2 & 1-\wurzel{5}}\vec{v} [/mm] = 0
nach Zeilenumformungen:
[mm] \pmat{ -2-2\wurzel{5} & -4 \\ 0 & 0}\vec{v} [/mm] = 0
Das entspricht doch der Gleichung:
[mm] (-1-\wurzel{5})v_1 [/mm] = [mm] 2v_2
[/mm]
und diese Gleichung dem Vektor:
[mm] \vec{v_1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1-\wurzel{5}}
[/mm]
diesen noch normieren: [mm] \vec{v_1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{10+2\wurzel{5}}} \vektor{2 \\ -1-\wurzel{5}} [/mm]
Jetz dasselbe noch für den Eigenwert [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] 1-\wurzel{5}:
[/mm]
[mm] \pmat{ -1+\wurzel{5} & -2 \\ -2 & 1+\wurzel{5}}\vec{v} [/mm] = 0
nach Zeilenumformungen:
[mm] \pmat{ -2+2\wurzel{5} & -4 \\ 0 & 0}\vec{v} [/mm] = 0
Das entspricht doch der Gleichung:
[mm] (-1+\wurzel{5})v_1 [/mm] = [mm] 2v_2
[/mm]
und diese Gleichung dem Vektor:
[mm] \vec{v_2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1+\wurzel{5}}
[/mm]
diesen noch normieren: [mm] \vec{v_2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{10-2\wurzel{5}}} \vektor{2 \\ -1+\wurzel{5}} [/mm]
Habe ich bis hier korrekt gerechnet?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Eine Kurve zweiter Ordnung ist durch die Gleichung
> [mm]-4x_1x_2 + 2x_2^{2} = 4[/mm]
> gegeben. Bestimmen Sie den Typ
> der Kurve, und zeichnen Sie die Kurve in der [mm](x_1; x_2)-Ebene.[/mm]
>
> Gut zuerst hab ich mal eine Matrix aus der Gleichung
> herausgelesen:
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & -2 \\ -2 & 2 }[/mm]
> Dann hab ich die Eigenwerte
> bestimmt:
> Das charakteristische Polynom ist ja
> [mm](0-\lambda)(2-\lambda)-4[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]1+\wurzel{5}[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]1-\wurzel{5}[/mm]
>
> Eigenvektor zu [mm]\lambda_1:[/mm]
>
> [mm](A-\lambda I)\vec{v}[/mm] = 0
>
> [mm]\pmat{ 0-\lambda_1 & -2 \\ -2 & 2-\lambda_1 }\vec{v}[/mm] = 0
>
> [mm]\pmat{ -1-\wurzel{5} & -2 \\ -2 & 1-\wurzel{5}}\vec{v}[/mm] = 0
>
> nach Zeilenumformungen:
>
> [mm]\pmat{ -2-2\wurzel{5} & -4 \\ 0 & 0}\vec{v}[/mm] = 0
>
> Das entspricht doch der Gleichung:
> [mm](-1-\wurzel{5})v_1[/mm] = [mm]2v_2[/mm]
> und diese Gleichung dem Vektor:
> [mm]\vec{v_1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1-\wurzel{5}}[/mm]
>
> diesen noch normieren: [mm]\vec{v_1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{10+2\wurzel{5}}} \vektor{2 \\ -1-\wurzel{5}}[/mm]
>
> Jetz dasselbe noch für den Eigenwert [mm]\lambda_2[/mm] =
> [mm]1-\wurzel{5}:[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1+\wurzel{5} & -2 \\ -2 & 1+\wurzel{5}}\vec{v}[/mm] = 0
>
> nach Zeilenumformungen:
>
> [mm]\pmat{ -2+2\wurzel{5} & -4 \\ 0 & 0}\vec{v}[/mm] = 0
>
> Das entspricht doch der Gleichung:
> [mm](-1+\wurzel{5})v_1[/mm] = [mm]2v_2[/mm]
> und diese Gleichung dem Vektor:
> [mm]\vec{v_2}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1+\wurzel{5}}[/mm]
>
> diesen noch normieren: [mm]\vec{v_2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{10-2\wurzel{5}}} \vektor{2 \\ -1+\wurzel{5}}[/mm]
>
> Habe ich bis hier korrekt gerechnet?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Ein weiteres herzliches Dankeschön MathePower!
Gut dann hab ich weitergerechnet und bin letztendlich auf die Gleichung [mm] (1+\wurzel{5})x_1^{2}+(1-\wurzel{5})x_2^{2}-4 [/mm] = 0 gekommen.
Laut dem Plot von Wolfram Alpha sollte das auch stimmen.
Wie skizziere ich das nun selbst?
Nehme ich Werte für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] an, berechne die Gleichung mit diesen Werten und trage diese dann in ein Koordinatensystem ein?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Ein weiteres herzliches Dankeschön MathePower!
>
> Gut dann hab ich weitergerechnet und bin letztendlich auf
> die Gleichung [mm](1+\wurzel{5})x_1^{2}+(1-\wurzel{5})x_2^{2}-4[/mm]
> = 0 gekommen.
>
> Laut dem Plot von Wolfram Alpha sollte das auch stimmen.
Das stimmt auch.
>
> Wie skizziere ich das nun selbst?
> Nehme ich Werte für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] an, berechne die
> Gleichung mit diesen Werten und trage diese dann in ein
> Koordinatensystem ein?
Nehme ein paar Werte für [mm]x_{1}[/mm] und errechne daraus
jeweils den fehlenden Wert.
Die Art der Kurve sollte auch ohne Zeichung erkennbar sein.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Ich danke dir MathePower!
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