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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 29.08.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Für welche reelle a ist die Quadrik
x1²+x2²+x3²+2ax1x2+3ax2x3+2ax1x3=4a ein Ellipsoid? |
Hallo,
Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Momentan bin ich soweit:
Umgeformt zu x1²+x2²+x3²+2ax1x2+3ax2x3+2ax1x3-4a = 0
Dann A bestimmt: [mm] \pmat{ 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 }, [/mm] b ist ein Nullvektor.
Ich habe nun versucht, die EW herauszufinden, in Abhängigkeit von a, jedoch erhalte ich:
-c³ + 5c² + c(-2+3a²) +1 +2a³ -3a²
Ich komme da irgendwie nicht weiter, wie ich da EW geschweige denn EV heraus erhalten soll...
Meine Idee war eigentlich, so vorzugehen:
EW und EV bestimmen, EV normieren und als Matrix P nehmen. Dann Substitution X=PY und somit dann Normalform erhalten (also eigentlich eine normale Hauptachsentransformation durchzuführen in Abhängigkeit von a)...ist diese Idee richtig?
Vielen Dank im Voraus für Hilfe!!
Liebe Grüsse,
n.
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Hallo natascha,
> Für welche reelle a ist die Quadrik
> x1²+x2²+x3²+2ax1x2+3ax2x3+2ax1x3=4a ein Ellipsoid?
> Hallo,
>
> Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Momentan bin ich
> soweit:
> Umgeformt zu x1²+x2²+x3²+2ax1x2+3ax2x3+2ax1x3-4a = 0
> Dann A bestimmt: [mm]\pmat{ 1 & a & a \\
a & 1 & a \\
a & a & 1 },[/mm]
Die Matrix passt nicht zu deinem Quadrikpolynom. Steht bei dem Polynom [mm] $3ax_2 x_3$ [/mm] oder [mm] $\red{2}ax_2 x_3$ [/mm] ? (nur beim zweiten stimmt deine Matrix).
> b ist ein Nullvektor.
ok.
> Ich habe nun versucht, die EW herauszufinden, in
> Abhängigkeit von a, jedoch erhalte ich:
> -c³ + 5c² + c(-2+3a²) +1 +2a³ -3a²
Das stimmt nicht, weder wenn ich die Matrix nehme, die du oben hingeschrieben hast, noch die, die zu dem von dir angegebenen Polynom passen würde.
> Ich komme da irgendwie nicht weiter, wie ich da EW
> geschweige denn EV heraus erhalten soll...
> Meine Idee war eigentlich, so vorzugehen:
> EW und EV bestimmen, EV normieren und als Matrix P nehmen.
> Dann Substitution X=PY und somit dann Normalform erhalten
> (also eigentlich eine normale Hauptachsentransformation
> durchzuführen in Abhängigkeit von a)...ist diese Idee
> richtig?
Ja, soweit richtig. Genauer brauchst du keine Hauptachsentransformation durchzuführen, sondern musst nur schauen ob die Matrix nur positive Eigenwerte hat (das impliziert auch Rang 3).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 29.08.2010 | | Autor: | natascha |
Hi Stefan,
Vielen Dank für deine Antwort.
Da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen:
x1²+x2²+x3²+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3-4a = 0
So muss es heissen, in dem Fall war meine Matrix als richtig. Ich habe das jetzt nochmal nachgerechnet und erhalte:
-c³+3c²-3c+3a²c+1+2a³-3a²
Kriegst du auch sowas raus?
> Ja, soweit richtig. Genauer brauchst du keine
> Hauptachsentransformation durchzuführen, sondern musst nur
> schauen ob die Matrix nur positive Eigenwerte hat (das
> impliziert auch Rang 3).
Das finde ich sehr interessant. D.h. es gibt einen Satz, der sagt, dass wenn eine Matrix nur positive Eigenwerte hat, sie zwingend Rang 3 haben muss? Doch reicht das dann schon aus, um zu sagen, dass es sich um einen Ellipsoid handelt? Soweit aus meinen Notizen hervorgeht, kann es bei Rang 3 auch ein einschaliger oder zweischaliger Hyperbolide sein bei Rang 3. Oder täusche ich mich da?
Vielen Dank!
Liebe Grüsse,
n.
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Hallo!
> Hi Stefan,
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen:
> x1²+x2²+x3²+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3-4a = 0
> So muss es heissen, in dem Fall war meine Matrix als
> richtig. Ich habe das jetzt nochmal nachgerechnet und
> erhalte:
> -c³+3c²-3c+3a²c+1+2a³-3a²
> Kriegst du auch sowas raus?
Ja, das ist richtig!
Durch Ausklammern wird die Struktur noch etwas deutlicher, und besser ist es auch, wenn der führende c-Term positiv ist:
[mm] $c^{3}+3*c^{2}+(3-3a^{2})*c [/mm] + [mm] (-1-3a^{2}-2a^{3})$
[/mm]
> > Ja, soweit richtig. Genauer brauchst du keine
> > Hauptachsentransformation durchzuführen, sondern musst nur
> > schauen ob die Matrix nur positive Eigenwerte hat (das
> > impliziert auch Rang 3).
> Das finde ich sehr interessant. D.h. es gibt einen Satz,
> der sagt, dass wenn eine Matrix nur positive Eigenwerte
> hat, sie zwingend Rang 3 haben muss?
Naja, natürlich nur, wenn auch die Matrix von der Dimension 3x3 ist.
Es gilt ja bei solch einer Matrix: Rang + Dimension(Kern) = 3.
Das heißt, wenn die Dimension des Kerns = 0 ist, folgt Rang = 3.
Nun ist der Kern einer Matrix A aber gerade der Eigenraum von A zum Eigenwert 0.
Wenn die Matrix aber gar keinen Eigenwert 0 hat, ist der Eigenraum zum Eigenwert 0 leer (bzw. besteht nur aus dem Nullvektor) --> Dimension(Kern) = 0.
Die Argumentation an sich geht aber natürlich auch für beliebige n x n-Matrizen.
Das heißt: Hat eine Matrix n von Null verschiedene Eigenwerte (mit algebraischen Vielfachheiten gezählt), so hat die Matrix vollen Rang, also Rang = n.
> Doch reicht das dann
> schon aus, um zu sagen, dass es sich um einen Ellipsoid
> handelt? Soweit aus meinen Notizen hervorgeht, kann es bei
> Rang 3 auch ein einschaliger oder zweischaliger Hyperbolide
> sein bei Rang 3. Oder täusche ich mich da?
Das ist richtig.
Wir haben aber nicht nur Rang = 3, sondern wir haben auch: Die Eigenwerte sind alle positiv. Das hatte ich ja als Bedingung gesagt.
Daraus folgt, dass wir nach der Hauptachsentransformation schonmal ein Gebilde der Form
[mm] $k*x_{1}^{2}+m*x^{2}_{2} [/mm] + [mm] n*x_{3}^{2} [/mm] -4a = 0$
haben mit k,m,n > 0.
Das lässt sich umformen zu:
[mm] $\frac{x_{1}^{2}}{(\sqrt{k})^{2}}+\frac{x^{2}_{2}}{(\sqrt{m})^{2}} [/mm] + [mm] \frac{x_{3}^{2}}{(\sqrt{n})^{2}} [/mm] -4a = 0$
haben. Und das ist ja schon die Form von einem Ellipsoid. Es fehlt aber wirklich noch eine Bedingung: Es muss a > 0 sein. Das kannst du aber auch sofort aus dem Ausgangs-Quadrikpolynom ablesen, weil sich der konstante Summand "-4a" ja nicht durch die Hauptachsentransformation ändert.
Grüße,
Stefan
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