Hauptachsentransformation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mo 07.02.2005 | | Autor: | kaffee |
Guten Abend,
bin wieder einmal etwas verwirrt.
In der Vorlesung haben wir die Hauptachsentransformation wie folgt definiert:
Ist G eine symmetrische reelle (nxn)-Matrix, so existiert T [mm] \in [/mm] SO(n) so dass [mm]TGT^-1[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Ich habe das bis jetzt immer so verstanden: Hauptachsentransformation braucht man, um eine orthonormale Basis aus Eigenvektoren zu bilden. Aber nun kommt dabei immer die Diagonalmatrix mit den Eigenvektoren heraus. Und das könnte ich doch einfacher haben, nämlich indem ich "normal" diagonalisiere, oder?
Je länger ich nun darüber nachdenke, desto verwirrter werde ich.
Ich wäre also sehr froh um Erklärungen darüber, was genau die Hauptachsentransformation dem Diagonalisieren (damit meine ich eine Matrix A in der Form [mm] A = TDT^-1 [/mm] darzustellen, wobei T Matrix aus Eigenvektoren, und D Diagonalmatrix aus Eigenwerten) voraus hat. Und wann welches Verfahren angewendet wird.
Danke,
sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> In der Vorlesung haben wir die Hauptachsentransformation
> wie folgt definiert:
> Ist G eine symmetrische reelle (nxn)-Matrix, so existiert
> T [mm]\in[/mm] SO(n) so dass [mm]TGT^-1[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe das bis jetzt immer so verstanden:
> Hauptachsentransformation braucht man, um eine orthonormale
> Basis aus Eigenvektoren zu bilden.
, genauso ist es! 
> Aber nun kommt dabei
> immer die Diagonalmatrix mit den Eigenvektoren heraus. Und
> das könnte ich doch einfacher haben, nämlich indem ich
> "normal" diagonalisiere, oder?
Aber dann hättest du im Allgemeinen keine orthonormale Basis aus Eigenvektoren, sondern "nur" eine Basis aus Eigenvektoren. Das Schöne speziell bei symmetrischen Matrizen ist, dass man eine ON-Basis aus Eigenvektoren bekommt. Ist doch toll: Meine Standardbasis hat "im Prinzip" schon die richtige Struktur. Ich brauche diese Basis nur noch geeignet zu drehen und spiegeln und schon habe ich eine Basis aus Eigenvektoren! Und die Inverse der Basiswechselmatrix ist auch ganz einfach zu bestimmen: ich brauche sie nur zu transponieren!
Das ganze hat natürlich eine gemetrische Interpretation, und wer wäre befugter als ich gerade darüber zu referieren? (Kleiner Insider-Gag am Rande: Ich bin der Anti-Geometer...  )
Eine reelle symmetrische ($n [mm] \times [/mm] n)$-Matrix $A$ liefert in kanonischer Weise ein Skalarprodukt auf derm [mm] $\IR^n$ [/mm] via
[mm] $s_A(x,y) [/mm] = [mm] x^T [/mm] Ay$,
und daher auch eine quadratische Form:
[mm] $q_A(x) [/mm] = [mm] s_A(x,x) [/mm] = x^TAx$.
Schauen wir uns mal die Niveauflächen dieser quadratischen Form an, also die Mengen:
[mm] $S_c=\{x \in \IR^n\, : \, q_A(x)=c\}$.
[/mm]
Diese Niveauflächen bilden im [mm] $\IR^n$ [/mm] bei einer symmetrischen Matrix schöne Gebilde, nämlich Hyperboloide, Ellipsoide,.... Diese speziellen Quadriken haben sogenannte Hauptachsen, die senkrecht aufeinander stehen (stell dir die beiden Hauptachsen einer Ellipse vor; so sieht das aus). Und die Eigenvektoren spannen genau diese Hauptachsen auf. Daher der Name "Hauptachsentransformation".
Es gibt auch nicht-symmetrische Matrizen, die man diagonalisieren kann. Nur muss man dann, um auf die Basis aus Eigenvektoren zu kommen, die Standardbasis unter Umständen ganz schön verzerren. Die Eigenvektoren können ziemlich fies zueinander stehen, und die Niveaulinien sind gar nicht mehr so schön! Außerdem kann man die Inverse der Basistransformationsmatrix nicht mehr einfach durch Transponieren finden. Also: Gehörige Nachteile, die man sich da einhandelt!!
Ich denke du siehst, warum es bei symmetrischen Matrizen wirklich schön ist, dass man orthogonal diagonalisieren kann!!
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Di 08.02.2005 | | Autor: | kaffee |
Hallo Stefan
Danke erstmal! Das hat mir einiges weiter geholfen.
Nun sind aber noch Folgefragen aufgetaucht:
Die Orthonormalität meiner Eigenbasis, entsteht die durch Multiplikation mit einer Matrix T[mm] \in [/mm]SO(n) oder muss ich vorher die Eigenvektoren orhonormieren? Wenn ich das nämlich tun muss, dann könnte ich auch Eigenvektoren einer nicht symmetrischen Matrix orthonormieren...? Oder sagt die Hauptachsentransformation, dass genau (nur) die Eigenvektoren symmetrischer Matrizen orthogonal sind, und die Basis aus EV orthonormal nach Orthonormierun?
Eine nicht symmetrische Matrix kann ich sonst aber auch durch Basis aus Eigenvektoren darstellen, falls ich n Eigevektoren habe ( das entspricht doch der Definition für Diagonalisierbarkeit?!), nur sind diese dann nicht orthonormal. Aber orthogonal schon, falls sie Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind. Ja?
Widerspreche ich mir schon selbst?
Liebe Grüsse, sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo kaffee!
Also, es gibt natürlich auch andere reelle (nichtsymmetrische) Matrizen, die eine ON-Basis aus Eigenvektoren besitzen, etwa [mm] $\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1}$.
[/mm]
Bewegt man sich im [mm] $\IC^n$, [/mm] so kann man zeigen, dass dies genau die normalen Matrizen sind, die eine ON-Basis aus Eigenvektoren besitzen, also genau die Matrizen $A [mm] \in \IC^{n \times n}$ [/mm] mit [mm] $A\bar{A}^T [/mm] = [mm] \bar{A}^TA$.
[/mm]
Die Aussage bei der Hauptachsentransformation ist eben einfach ein Spezialfall davon und sagt aus, dass dies bei symmetrischen Matrizen immer der Fall ist (eben weil sie normal sind).
Im Allgemeinen sind nur die Eigenvektoren normaler Matrizen zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal (und im allgemeinen Fall immerhin linear unabhängig). Daher führt eine Orthonormalisierung innerhalb der Eigenräume nur im normalen Fall zu einer ON-Basis. Ansonsten kann man keine ON-Basis "erzwingen". Diagonalisierbarkeit im allgemeinen Fall bedeutet also zunächst nur, dass es eine Basis aus Eigenvektoren gibt, nicht notwendigerweise eine ON-Basis!
Liebe Grüße
Stefan
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