Hauptachsentransformation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr!
Habe mal eine ganz kurze Frage - und zwar geht es um die Transformationsmatrix für eine Hauptachsentransformation. Angenommen, ich habe einfach ein Polynom der Form [mm] x^t [/mm] A x gegeben. Wenn A diagonalisierbar ist, so kann ich das ganze doch mit Hilfe einer Transformationsmatrix T, die als Spalten die Eigenvektoren enthält auf die Form [mm] \lambda_1 x_1^2 [/mm] + [mm] \lambda_2 x_2^2 [/mm] bringen, wobei die [mm] \lambda [/mm] die Eigenwerte sind. Ok - so weit so gut.
Aber wenn ich nun die Eigenvektoren in T in vertauschter Reihenfolge eintrage, so tausche ich auch die [mm] \lambda [/mm] s, oder? Woher weiß ich denn dann, welches [mm] \lambda [/mm] vor welchem [mm] x^2 [/mm] steht?? Oder ist das egal???
Wäre sehr dankbar für eine Hilfe!
|
|
| |
|
Hallo.
Du erhältst das transformierte Polynom doch dadurch, indem Du $A$ durch [mm] $T^{T}AT=\pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 }$ [/mm] ersetzt. Wenn Du die Eigenwerte in vertauschter Reihenfolge einsetzt, erhältst Du eben [mm] $\pmat{ \lambda_2 & 0 \\ 0 & \lambda_1}$. [/mm] Wie lautet Dein Polynom dann?
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Ja, genauso, nur dass die Koeffizienten vor [mm] x_1^2 [/mm] und [mm] x_2^2 [/mm] vertauscht sind, oder??
|
|
|
| |
|
Ja, genau das.
Denn: Was tut denn die Hauptachsentransformation anschaulich?
Die Transformationsmatrix bewirkt eine Drehung/Spiegelung, so daß das beschreibende Polynom eine besonders einfache Gestalt annimmt. Im Fall vertauschter Eigenvektoren "drehst" Du einfach "andersrum" bzw. Du fügst eine Spiegelung hinzu.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Ok - dann ist es also völlig egal, in welcher Reihenfolge ich sie eintrage! Kapiert 
Danke!!
|
|
|
|
