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| Aufgabe | Bestimme die Eigenwerte, die Eigenräume und die Haupträume der folgenden Matrix mit rationalen Einträgen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 } [/mm] |
Nun zuerst habe ich die Matrix auf die Zeilenstufenform gebracht, nun da muss nur noch die 2 in der letzen Zeile weg:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 }
[/mm]
Zeile V - (-2)*III
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
danach habe ich das charakteristische Polynom berechnet:
[mm] p_{A}(t)= [/mm] det(t*E-A)= [mm] det(\pmat{ t-1 & -2 & -2 & -3 & -1 \\ 0 & t+1 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & t+1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t-2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & t-1 }=(t-1)(t+1)(t+1)(t-2)(t+1)=(t-1)^{2}(t+1)^{2}(t-2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Eigenwerte sind:
[mm] t_{1}=1, t_{2}=-1, t_{3}=2
[/mm]
Stimmt das bis hierhin?
Nun was genau muss ich tun, damit ich die Eigenräume und Haupträume bekomme? Diese haben ja etwas mit dem Kern zu tun?
Habe im Internet dazu schon ein wenig gelesen, aber kann mir darunter nicht so viel vorstellen, auch nicht unter der Definition dieser Begriffe...
Wenn mir das doch jemand mit einfacheren Worten erklären könnte, wäre das lieb.
Und vllt. auch ein Beispiel zeigen, wie man das ausrechnet.
Danke schon mal! :) mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 26.04.2012 | | Autor: | unibasel |
Weiss niemand was?:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 27.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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