Haupsatzes der Diferentialrech < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Mi 27.12.2006 | | Autor: | nix19 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die Aussage des Haupsatzes der Differential- und Integralrechnung nicht erhalten bleiben, wenn die Funktion $f : [a; [mm] b]\to\IR$ [/mm] integrierbar, aber an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] aus (a; b) nicht stetig ist. |
Hallo
ich weiß nicht wie ich die Aufgabe rechnen soll, kann mir da einer helfen?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:25 Mi 27.12.2006 | | Autor: | tausi |
Hallo!
Betrachte die folgende Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in (0;0,5) \\ 2, & \mbox{für } x \in (0,5;1) \end{cases}
[/mm]
Fläche unter der Funktion: 1*0,5+2*0,5=1,5
[mm] F(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in (0;0,5) \\ 2x, & \mbox{für } x \in (0,5;1) \end{cases}
[/mm]
F(1)-F(0)=2-0=2
Damit gilt der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung nicht!
Tausi
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:08 Mi 27.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]F(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in (0;0,5) \\ 2x, & \mbox{für } x \in (0,5;1) \end{cases}[/mm]
Und warum solltes das die Stammfunktion sein? Bzw.: was soll eine Stammfunktion sein? Die ist in 0,5 unstetig. Du kannst das F ja mal stetig machen, in dem du eine der beiden Seiten so anpasst, dass die Funktionen in 0,5 übereinstimmen - und die Fläche läßt sich dann durchaus so berechnen ... aber diese Funktion ist halt nicht diffbar in 0,5. Kommt halt drauf an, wie man den HDI formuliert hat ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mi 27.12.2006 | | Autor: | nix19 |
wie geht die Aufgabe denn jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 27.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Schau dir doch mal die Signum-Funktion an. Als Stammfunktion dazu kann man die Betragsfunktion hernehmen, diese ist aber bekanntermaßen an der Stelle [mm]x_{0} = 0[/mm] nicht differenzierbar.
Also gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{sig(x) dx}=F(b)-F(a)=|b|-|a| [/mm]
Und sofern [mm]0 \in (a;b)[/mm] gilt:
[mm] F'(x) \not= f(x) [/mm], da [mm]F'(x)[/mm] an der Stelle [mm]x = 0[/mm] nicht existiert.
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