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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Fr 27.04.2007 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der Polynomring [mm] \IZ[T] [/mm] kein Hauptidealring
ist. |
hey leute
dachte das kann man folgendermaßen zeige:
zunächste betrachte ich das ideal
[mm] \{\summe_{i=0}^na_i*T^i|n\in\IN, n\ge1, a_i\in\IZ\}=:X
[/mm]
das wären sozusagen alle polynome mit koeffizienten in z, die nicht konstant sind.
jetzt kann man zeigen, dass dieses ideal kein hauptideal ist, was impliziert, dass [mm] \IZ[T] [/mm] kein Hauptidealring ist und zwar folgendermaßen:
angenommen es gibt ein [mm] a\in\IZ[T] [/mm]
[mm] \IZ[T]*a=X
[/mm]
dann müsste gelten
r*a=x+1 und [mm] r'*a=x^2+1
[/mm]
für [mm] r,r'\in\IZ[T]
[/mm]
dieses a gibt es aber nicht und deswegen ist [mm] \IZ[T] [/mm] kein hauptidealring.
nur wie genau kann ich formal zeigen, dass es wirklich nicht so ein a gibt?
könnt ihr mir bitte an der stelle weiterhelfen?
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> Zeigen Sie, dass der Polynomring [mm]\IZ[T][/mm] kein
> Hauptidealring
> ist.
> hey leute
>
> dachte das kann man folgendermaßen zeige:
>
> zunächste betrachte ich das ideal
>
> [mm]\{\summe_{i=0}^na_i*T^i|n\in\IN, n\ge1, a_i\in\IZ\}=:X[/mm]
>
> das wären sozusagen alle polynome mit koeffizienten in z,
> die nicht konstant sind.
Hallo,
da ist doch dann das Nullpolynom gar nicht drin. Also ist's kein Ideal.
Tip: betrachte das von 2 und x erzeugte Ideal (2,x).
Wäre es ein Hauptideal, würde es vom ggT erzeugt.
Nun das Lemma von Bezout.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Sa 28.04.2007 | | Autor: | AriR |
hmm dann füge ich das 0polynom noch expliziet mit ein, geht es dann irgendwie? so ein lemma hatten wir in der vorlesung leider nocht nicht irgendwie verstehe ich deinen weg auch leider nicht so ganz :(
kann ich mit meinem ansatz weitermachen, wenn ich meine menge von polynom mit der menge, bestehend nur aus dem 0polynom vereinige?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hmm dann füge ich das 0polynom noch expliziet mit ein, geht
> es dann irgendwie? so ein lemma hatten wir in der vorlesung
> leider nocht nicht irgendwie verstehe ich deinen weg auch
> leider nicht so ganz :(
>
> kann ich mit meinem ansatz weitermachen, wenn ich meine
> menge von polynom mit der menge, bestehend nur aus dem
> 0polynom vereinige?
Das reicht nicht: z.B. ist $(x +1) - x = 1$ nicht im Ideal, aber $x + 1$ und $x$ sind im Ideal. Damit ist es kein Ideal...
Wie Angela schon gesagt hat, betrachte das Ideal von $2$ und $x$ erzeugt. Ueberleg dir zuerst, dass es nicht der ganze Ring ist. (Z.B. ist $1$ nicht da drin enthalten.)
Jetzt nimm an, dass es ein Element $f [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] gibt so, dass das von $f$ erzeugte Ideal gleich dem von $2$ und $x$ erzeugten Ideal ist. Damit gibt es insbesondere [mm] $g_1, g_2 \in \IZ[x]$ [/mm] mit $f [mm] \cdot g_1 [/mm] = 2$ und $f [mm] \cdot g_2 [/mm] = x$.
Damit kannst du jetzt zeigen (Benutze z.B. den Gradsatz), dass $f = [mm] \pm [/mm] 1$ sein muss. Aber dann waere $1$ in dem Ideal, das von $2$ und $x$ erzeugt wird, ein Widerspruch.
LG Felix
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