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Hallo!
Folgende Aufgabenstellung:
Sei $ [mm] \alpha [/mm] > [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] gegeben. Besitzt die Funktion $f(x):=-x+ [mm] \wurzel{ \alpha + x}$ [/mm] in $[0,1+ [mm] \wurzel{ \alpha}]$ [/mm] eine (eindeutige) Nullstelle?
Ich würde gerne wissen, welches Verfahren man für die Löung dieses Problemes heranziehen würde!? Wir haben gerade den Hauptsatz über implizierte Funktionen durchbesprochen, aber ich kann mir nicht vorstellen, dass ich diesen hier anwenden soll. Mein erster Gedanke war, den Zwischenwertsatz anzuwenden bzw. einen Fixpunktsatz...
Grüße,
Christian.
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Hallo Christian,
Der Zwischenwertsatz bringt keine Eindeutigkeit. Der Banachsche Fixpunktsatz scheint da schon eher geeignet. Hast Du denn schon was ausprobiert?
gruß
Christian
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Hallo!
Kann noch jemand mal draufschauen, ob meine Ansätze richtig sind. Danke.
Der Banachsche Fixpunktsatz verlangt ja Stetigkeit auf einem kompakten Intervall, dass das Bild in sich selbst abbildet und dass eine Lipschitzkonstante existiert mit der Eigenschaft $0<L<1$.
Die beste Abschätzung für die Liptschitzbedingung ist meines Wissens nach die erste Ableitung. Man muss die erste Ableitung gekonnt abschätzen, sodass es für das ganze Intervall zutrifft. Stetigkeit liegt ebenfalls vor, also braucht man nur noch zeigen, dass das Bild wirklich in sich selbst abbildet. Grenzen einsetzen und Monotonie beweisen.
Ist dann die Aufgabe gelöst? Ist $ [mm] \bruch{1}{2. \wurzel{ \alpha}}-1$ [/mm] eine geeignte Lipschitzkonstante?
Grüße,
Christian.
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Hallo MrElgusive,
Wie Du auf deine Lipschitzkonstante kommst weiß ich nicht. Scheint mir auch nicht richtig(zumal Sie negativ ist). Du kannst ja noch ein wenig ausführlicher schreiben wie Du darauf gekommen bist. Noch eine Hinweis:
In der Aufgabe ist die Lösung einer Nullstellengleichung gesucht. Für den Banachschen Fixpunktsatz muß man daraus eine Fixpunktgleichung(x=g(x)) machen.
> Die beste Abschätzung für die Liptschitzbedingung ist
> meines Wissens nach die erste Ableitung. Man muss die erste
> Ableitung gekonnt abschätzen, sodass es für das ganze
> Intervall zutrifft. Stetigkeit liegt ebenfalls vor, also
> braucht man nur noch zeigen, dass das Bild wirklich in sich
> selbst abbildet. Grenzen einsetzen und Monotonie beweisen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
viele Grüße
Christian
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