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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Do 31.01.2008 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | | [mm] \begin{gathered}
\sum\limits_{k \geqslant 1} {\frac{1}
{k}} = 1 + \frac{1}
{2} + \frac{1}
{3} + ...
\end{gathered} [/mm] |
Hi, mir ist die Herleitung der Divergenz der harmonischen Reihe nicht ganz klar. Vielleicht kann jemand Klarheit schaffen.
Vielen Dank im voraus.
[mm] \begin{gathered}
\sum\limits_{k \geqslant 1} {\frac{1}
{k}} = 1 + \frac{1}
{2} + \frac{1}
{3} + ...{\text{ (Das ist die harmonische Folge)}} \hfill \\
{\text{Dann steht hier im Skript:}} \hfill \\
s_{2n} - s_n = \frac{1}
{{n + 1}} + \frac{1}
{{n + 2}} + ... + \frac{1}
{{2n}} \geqslant n \cdot \frac{1}
{{2n}} = \frac{1}
{2} \hfill \\
{\text{Wie kommt die Gleichung zustande???}} \hfill \\
s_n {\text{ ist doch die n - te Partialsumme}}{\text{, also }}1 + \frac{1}
{2} + \frac{1}
{3}... + \frac{1}
{n},{\text{ und}} \hfill \\
{\text{ was ist dann }}s_{2n} {\text{ (nur gerade Indizes?)}}\,{\text{und wie kommt man dann auf }}\frac{1}
{{n + 1}} + \frac{1}
{{n + 2}} + ... + \frac{1}
{{2n}}? \hfill \\
{\text{Dann weiter unten hei{\ss}t es:}} \hfill \\
{\text{Daraus folgt durch vollstä ndige Induktion}} \hfill \\
{\text{ }}s_{2^n } \geqslant 1 + \frac{n}
{2},\quad n \geqslant 0. \hfill \\
{\text{Ist der Index }}2^n {\text{ ein Druckfehler? }} \hfill \\
{\text{Nach was wird Induktion gefü hrt es ist doch zu zeigen}}{\text{, dass die Folge}} \hfill \\
{\text{der Partialsummen und beschrä nkt ist und die Reihe daher bestimmt divergent ist!? }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Blech |
>$ [mm] s_{2n}-s_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n + 1} [/mm] + [mm] \frac{1}{n + 2} [/mm] + ... + [mm] \frac{1}{{2n}} \geqslant [/mm] n [mm] \cdot \frac{1}{{2n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
>Wie kommt die Gleichung zustande???
[mm] $\frac{1}{n+i}\geq \frac{1}{2n}$ [/mm] für [mm] $1\leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$
Du hast n von den Termen.
> [mm] $s_n$ [/mm] ist doch die n - te Partialsumme, also was ist dann [mm] $s_{2n}$ [/mm]
die 2n-te Partialsumme
> und wie kommt man dann auf [mm] $\frac{1}{{n + 1}} [/mm] + [mm] \frac{1}{{n + 2}} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \frac{1}{{2n}} [/mm] $ ?
Das ist der n+1-te bis zum 2n-ten Term. D.h. die 2n-te Partialsumme minus der n-ten.
> $ [mm] s_{2^n } \geqslant [/mm] 1 + [mm] \frac{n}{2},\quad [/mm] n [mm] \geqslant [/mm] 0$
> Ist der Index [mm] $2^n$ [/mm] ein Druckfehler?
Nein, Du kannst ja für beliebiges n die Terme n+1 bis 2n durch 1/2 abschätzen. D.h. wenn Du die Summe partitionierst, brauchst Du für jede Abschätzung jeweils doppelt soviele Terme wie für die letzte Teilsumme, um auf das 1/2 zu kommen.
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}=1+ \frac{1}{2}+\underbrace{\sum_{k=3}^4 \frac{1}{k}}_{\geq \tfrac{1}{2}} [/mm] + [mm] \underbrace{\sum_{k=3}^4 \frac{1}{k}}_{\geq \tfrac{1}{2}} [/mm] + [mm] \underbrace{\sum_{k=5}^8 \frac{1}{k}}_{\geq \tfrac{1}{2}} [/mm] + [mm] \underbrace{\sum_{k=9}^{16} \frac{1}{k}}_{\geq \tfrac{1}{2}} +\dots$
[/mm]
> Nach was wird Induktion geführt es ist doch zu zeigen, dass die Folge
Über die Folge der Teilsummen, die wir jeweils mit 1/2 abschätzen.
>der Partialsummen und beschränkt ist und die Reihe daher bestimmt divergent ist!?
Ja, und genau das tut man doch auch mit der Abschätzung. =)
P.S.:
Ich weiß nicht, wie Du Deinen LaTeX-Text erstellt hast, aber das Teil ist grausam zu zitieren. Es wäre nett, wenn Du normalen Text mit Formeln anstatt eine Monsterformel mit eingeschobenem Text posten könntest.
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