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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:37 Sa 09.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Hier mal wieder eine Aufgabe, an der Jan und ich uns gestern abend lange die Zähne ausgebissen haben und sie leider nicht lösen konnten:
Sei [mm] $s_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}=\summe_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}}$ [/mm] und [mm] $t_n=\summe_{k=0}^{n}{\frac{1}{k\cdot s_k^2}}$
[/mm]
Man beweise, dass stets [mm] $t_n<2$ [/mm] für jedes natürlichr $n$ gilt.
Liebe Grüße und viel Spaß,
Hanno
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Hi Hanno,
ich denke, ich hab ne Lösung
(angenommen du summierst [mm] t_n [/mm] auch erst ab k=1  ).
Ich stelle zunächst mal fest, dass die Summanden der Reihe [mm]t_n[/mm] positiv sind, und somit die Folge der Partialsummen streng monoton steigt. Damit genügt es zu zeigen, dass die [mm]t_n[/mm] für eine unbeschränkte Teilmenge der natürlichen Zahlen kleiner als 2 sind. Ich nehme statt aller n nur noch Zweierpotenzen. Der Lesbarkeit halber schreibe ich das nicht jedesmal hin. Aber ab hier ist n also eine Zweierpotenz.
Weiterhin stelle ich fest dass [mm]s_n\ge\varsigma_n[/mm] ist mit
[mm]\varsigma_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}[/mm].
Das folgt aus [mm]1\ge1[/mm], [mm]\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}[/mm],
[mm]\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}[/mm],
[mm]\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\ge\frac{1}{2}[/mm], usw.
Es ist leicht zu sehen dass [mm]\varsigma_n\ge1[/mm] und somit [mm]\varsigma_n^2\ge\varsigma_n[/mm].
Ich schätze jetzt die Summanden [mm]\tau_k[/mm] von [mm]t_n=\sum_{k=1}^{n}\tau_k[/mm] nach oben ab, indem ich ihren Nenner nach unten abschätze.
[mm]\tau_k=\frac{1}{k\cdot s_k^2}\le\frac{1}{k\cdot\varsigma_k^2}\le\frac{1}{k\cdot\varsigma_k}[/mm]
Eingesetzt ergibt das:
[mm]\tau_k\le\frac{1}{k\cdot\frac{k+1}{2}}=\frac{2}{k}-\frac{2}{k+1}[/mm]
Also ist [mm]t_n\le\sum_{k=1}^n\tau_k=2-\frac{2}{n+1}[/mm] für alle n, die eine Zweierpotenz sind.
Weil zu jeder gegebenen Zahl eine noch größere Zweierpotenz existiert, gilt (jetzt ist n wieder beliebig):
[mm]t_n\le2-\frac{2}{2^n+1}<2[/mm]
Ich hoffe, der Beweis stimmt.
Hugo
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