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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mi 28.05.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ein j, sodass gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{j}(\bruch{1}{n})>100 [/mm] |
Ich kriege diese Aufgabe irgendwie nicht ganz hin. Ich habe da ein paar Ideen gehabt, von denen ich jedoch denke, dass sie nicht zwingend funktionieren müssen...
Ich habe mir gedacht, dass ich eine Folge [mm] b_{n} [/mm] finde, die immer kleinere Folgenglieder besitzt als die Folgenglieder von [mm] a_{n}=\bruch{1}{n}. [/mm] Allerdings so, dass die Reihe über die Folge [mm] b_{n} [/mm] gegen einen Wert größer 100 konvergiert UND auf die ich die geometrische Reihe anwenden kann. Denn wenn ab einem bestimmten Folgenglied (sagen wir ab dem j-ten), der Reihenwert von [mm] b_{n} [/mm] den Wert 100 übersteigt, so liegt der Reihenwert der Reihe über [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ab dem j-ten Folgenglied erst recht über 100.
Ich habe auch versucht [mm] \summe_{n=1}^{j}(\bruch{1}{n}) [/mm] anders darzustellen, sodass ich durch Umformungen eines Ausdrucks leicht ein j ermitteln kann, welches obige Bedingung erfüllt. Aber ich bin da leider auf nichts sinnvolles gekommen.
Könnte mir da evtl. jemand weiterhelfen?
Mit Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mi 28.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie ein j, sodass gilt:
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> [mm]\summe_{n=1}^{j}(\bruch{1}{n})>100[/mm]
> Ich kriege diese Aufgabe irgendwie nicht ganz hin. Ich
> habe da ein paar Ideen gehabt, von denen ich jedoch denke,
> dass sie nicht zwingend funktionieren müssen...
> Ich habe mir gedacht, dass ich eine Folge [mm]b_{n}[/mm] finde, die
> immer kleinere Folgenglieder besitzt als die Folgenglieder
> von [mm]a_{n}=\bruch{1}{n}.[/mm] Allerdings so, dass die Reihe über
> die Folge [mm]b_{n}[/mm] gegen einen Wert größer 100 konvergiert
> UND auf die ich die geometrische Reihe anwenden kann. Denn
> wenn ab einem bestimmten Folgenglied (sagen wir ab dem
> j-ten), der Reihenwert von [mm]b_{n}[/mm] den Wert 100 übersteigt,
> so liegt der Reihenwert der Reihe über [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ab dem
> j-ten Folgenglied erst recht über 100.
>
> Ich habe auch versucht [mm]\summe_{n=1}^{j}(\bruch{1}{n})[/mm]
> anders darzustellen, sodass ich durch Umformungen eines
> Ausdrucks leicht ein j ermitteln kann, welches obige
> Bedingung erfüllt. Aber ich bin da leider auf nichts
> sinnvolles gekommen.
>
> Könnte mir da evtl. jemand weiterhelfen?
Setze [mm] S_j:=\summe_{n=1}^{j}\bruch{1}{n} [/mm] und zeige
[mm] $S_{2^j} \ge 1+\bruch{j}{2}$ [/mm] für j [mm] \in \IN.
[/mm]
Ist dann [mm] k_0=2^{199}, [/mm] so ist [mm] S_{k_0}>100
[/mm]
FRED
>
> Mit Dank im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
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