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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 02:33 Sa 11.02.2006 | | Autor: | djmatey |
| Aufgabe | | zz: V(x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} P(H_n \le [/mm] x) = [mm] E(\summe_{n=0}^{\infty}1_{\{H_n \le x\}}) [/mm] ist harmonisch für den bei 0 abgeschnittenen Random Walk. |
Hallo,
die Situation ist die folgende:
Gegeben ist ein Random Walk [mm] S_n, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] der eine zeitlich homogene Markov-Kette bzw. ein Martingal mit zentrierten iid-Zuwächsen endlicher Varianz bildet, und der bei 0 abgeschnittene Random Walk (d.h. der ursprüngliche Random Walk, der 0 wird und bleibt, sobald er kleiner oder gleich 0 wird). Der Zustandsraum ist [mm] (\IR,IB), [/mm] wobei mit IB die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] gemeint ist.
[mm] H_n [/mm] ist die n-te Leiterhöhe (Ein Punkt heißt Leiterhöhe, falls er ein neues Maximum ist)
Die Behauptung ist, dass die oben angegebene Funktion V(x) harmonisch für Q ist, wobei Q die Verteilung des abgeschnittenen Random Walks bezeichnet. Es soll also gelten
[mm] \integral{P(x,dy)V(y)} [/mm] = V(x).
Dabei soll P der Übergangskern zu Q sein.
Äquivalent dazu kann man auch zeigen, dass [mm] V(S_{k}) [/mm] ein Martingal bildet.
Ich habe keine Ahnung, wie man das zeigt - durch Rechnen hab' ich's nicht hingekriegt.
Ach ja, es gilt V(x) = 0 für x < 0 und [mm] H_0 [/mm] = 0.
Bin für jede Hilfe dankbar!
Beste Grüße,
Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 So 05.03.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo djmatey!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit, deine Frage beantworten. Nun muss ich sie für Interessierte markieren.
Falls ich die Fälligkeit verlängern sollte, schreibe bitte eine private Nachricht an mich!
Vielleicht hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
PStefan
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