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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 30.07.2008 | | Autor: | AXXEL |
Hallo,
ich schreibe am Freitag eine Numerik - Klausur, in der es unter anderem um Hardware-Arithmetik geht. Wir haben dabei gelernt, dass Matlab Zahlen auf ca. 16 Stellen hinter dem Komma genau darstellen kann (doppelte Geauigkeit nach IEEE-Standard). Leider verstehe ich dabei das ca. nicht ganz! Warum z.b. kann Matlab 1.(14 Nullen)1 ohne Probleme darstellen, rundet aber 9.(14 Neunen)9 auf 9.(14 Neunen)8?? Warum rundet Matlab mit 10^70, 10^71 aber nicht ? Es wäre sehr nett, wenn mir jemand diese Phänomene erklären könnte.
Vielen Dank und viele Grüsse,
Axxel
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> Hallo,
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> ich schreibe am Freitag eine Numerik - Klausur, in der es
> unter anderem um Hardware-Arithmetik geht. Wir haben dabei
> gelernt, dass Matlab Zahlen auf ca. 16 Stellen hinter dem
> Komma genau darstellen kann (doppelte Geauigkeit nach
> IEEE-Standard). Leider verstehe ich dabei das ca. nicht
> ganz! Warum z.b. kann Matlab 1.(14 Nullen)1 ohne Probleme
> darstellen, rundet aber 9.(14 Neunen)9 auf 9.(14 Neunen)8??
> Warum rundet Matlab mit 10^70, 10^71 aber nicht ? Es wäre
> sehr nett, wenn mir jemand diese Phänomene erklären
> könnte.
Siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Implementation_in_actual_computers oder auch Berechnung einer IEEE double precision Gleitkommazahl.
Der Grund, weshalb die Anzahl Stellen nur ungefähr 16 angegeben wird ist einfach der: die Gleitkommazahlen werden von der Maschine effektiv binär dargestellt. Die Beziehung zwischen Anzahl Stellen im Dezimalsystem und derjenigen im Binärsystem ist halt nicht das eines ganzzahligen Vielfachen. Um [mm] $10^n$ [/mm] Zahlen binär darstellen zu können, braucht es [mm] $n\log_2(10)\approx n\cdot [/mm] 3.3212$ Binärziffern. Bzw. mit $n$ Binärziffern kann man [mm] $2^n$ [/mm] verschiedene Zahlen darstellen. Leider ist halt [mm] $2^n$ [/mm] kaum je (eigentlich nie) eine ganzzahlige Zehnerpotenz. Eine Double Precision Gleitkommazahl hat eine Mantisse von $52$ Bits, also ist wegen [mm] $52/log_2(10)\approx [/mm] 15.65$ sicher die Darstellung aller (dezimal) 15-stelligen Mantissen möglich, nicht aber die Darstellung aller 16 stelligen.
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