Hamilton-Bewgl. lösen < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Hamilton-Funktion
[mm] $$H(x,p)=\frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2}+\lambda\left( \frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2} \right)^2$$
[/mm]
a) Stellen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf.
b) Zeigen Sie, dass [mm] $I=\frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2}$ [/mm] eine Erhaltungsgröße ist.
c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen und bestimmen Sie die Osziallationsfrequenz. |
Hallo zusammen,
a.)
[mm] \frac{\partial H}{\partial p}= \dot{x}
[/mm]
also [mm] $p+2\lambda \left( \frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2} \right) [/mm] p [mm] =\dot{x}$
[/mm]
[mm] \frac{\partial H}{\partial x}= -\dot{p}
[/mm]
[mm] $\omega_0^2x+2\lambda \left( \frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2} \right) \omega_0^2x=-\dot{p}
[/mm]
b.)
[mm] \frac{d}{dt}I=\frac{\partial I}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial I}{\partial x}\dot{x}
[/mm]
Ich leite partiell ab und setze die Ergebnisse aus a.) für [mm] \dot{p} [/mm] und [mm] \dot{x} [/mm] ein, dann kommt dort Null heraus.
Diese beiden Teilaufgaben waren kein Problem.
Nur bei Teil c.) komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht wie ich die DGLs aus Teil a.) lösen soll.
Ic denke ich muss die Bewegungsgleichungen nochmal differenzieren und dann ausnutzen, dass der (...)-Term beim differenzieren Null ergibt. Da ich aber dort ein Produkt differenzieren muss bleibt der Term einmal stehen.
Gibts da etwas was ich übersehen habe?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mo 08.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei die Hamilton-Funktion
> [mm]H(x,p)=\frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2}+\lambda\left( \frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2} \right)^2[/mm]
>
> a) Stellen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf.
> b) Zeigen Sie, dass [mm]I=\frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2}[/mm]
> eine Erhaltungsgröße ist.
> c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen und bestimmen Sie
> die Osziallationsfrequenz.
> Hallo zusammen,
>
> a.)
>
> [mm]\frac{\partial H}{\partial p}= \dot{x}[/mm]
>
> also [mm]p+2\lambda \left( \frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2} \right) p =\dot{x}[/mm]
>
>
> [mm]\frac{\partial H}{\partial x}= -\dot{p}[/mm]
>
> [mm]$\omega_0^2x+2\lambda \left( \frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2} \right) \omega_0^2x=-\dot{p}[/mm]
>
> b.)
>
> [mm]\frac{d}{dt}I=\frac{\partial I}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial I}{\partial x}\dot{x}[/mm]
>
> Ich leite partiell ab und setze die Ergebnisse aus a.) für
> [mm]\dot{p}[/mm] und [mm]\dot{x}[/mm] ein, dann kommt dort Null heraus.
>
> Diese beiden Teilaufgaben waren kein Problem.
>
> Nur bei Teil c.) komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht
> wie ich die DGLs aus Teil a.) lösen soll.
> Ic denke ich muss die Bewegungsgleichungen nochmal
> differenzieren und dann ausnutzen, dass der (...)-Term beim
> differenzieren Null ergibt. Da ich aber dort ein Produkt
> differenzieren muss bleibt der Term einmal stehen.
> Gibts da etwas was ich übersehen habe?
Ja. Aus der Tatsache, dass die Zeitableitung verschwindet, folgt, dass der Term in Klammern eine Konstante sein muss, und damit vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen enorm.
Nebenbei: das siehst du auch direkt, da die Hamiltonfunktion gleich [mm] $I+\lambda I^2$ [/mm] ist, und wegen der Energieerhaltung muss dann $I$ eine Konstante sein.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
Ok, also kann ich dann einfach schreiben:
[mm] \dot{x}=p(1+C) [/mm] und [mm] -\dot{p}=\omega_0^2x(1+C)
[/mm]
Differenziere ich die erste Gleichung erhalte ich:
[mm] \ddot{x}=\dot{p}(1+C)
[/mm]
einsetzen der zweiten Gleichung liefert
[mm] \ddot{x}=-(\omega_0(1+C))^2x
[/mm]
sodass sich für als allgemeine Lösung
[mm] $x=A\cos(\omega_0(1+C) [/mm] t + [mm] \Phi)$ [/mm]
ergibt.
Kann man das einfach so machen mit der Konstante C, weil eigentlich steht da ja noch ein x drin...?
Danke,
viele Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> sodass sich für als allgemeine Lösung
>
> [mm]x=A\cos(\omega_0(1+C) t + \Phi)[/mm]
>
> ergibt.
> ...
Hallo, das kann nicht stimmen !
Dimensionsvergleich :
• Nach obiger Gl. muss [mm] \omega_0 [/mm] von der Dimension [mm] ZEIT^{-1} [/mm] sein !
• Nach [mm] $\left( \frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2} \right) [/mm] $ hat [mm] \omega_0 [/mm] die Dimension [mm] $\bruch{Masse}{Zeit}$
[/mm]
Ciao Calli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in den Gleichungen haben p und x' dieselbe dimension, so dass p nicht mx' ist.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Di 09.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer!
>
> Ok, also kann ich dann einfach schreiben:
>
> [mm]\dot{x}=p(1+C)[/mm] und [mm]-\dot{p}=\omega_0^2x(1+C)[/mm]
>
> Differenziere ich die erste Gleichung erhalte ich:
>
> [mm]\ddot{x}=\dot{p}(1+C)[/mm]
>
> einsetzen der zweiten Gleichung liefert
>
> [mm]\ddot{x}=-(\omega_0(1+C))^2x[/mm]
>
> sodass sich für als allgemeine Lösung
>
> [mm]x=A\cos(\omega_0(1+C) t + \Phi)[/mm]
>
> ergibt.
Nicht ganz: die Konstante $A$ hängt von $C$ ab.
> Kann man das einfach so machen mit der Konstante C, weil
> eigentlich steht da ja noch ein x drin...?
Das ist egal: es ist entlang der Trajektorien eine Konstante. Der Phaenraum $(x,p)$ hat Dimension 2, damit sind die Kurven [mm] $I(x,p)=\text{cst.}$ [/mm] gerade die möglichen Trajektorien im Phasenraum.
Übrigens gibt dir das noch einen zweiten Lösungsweg, zur Kontrolle: du kannst [mm]\dot{x}=p(1+C)[/mm] nach $p$ auflösen und in [mm] $I(x,p)=\text{cst.}$ [/mm] einsetzen; damit erhälst du eine DGL 1. Ordnung für $x$.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Di 09.02.2010 | | Autor: | XPatrickX |
Ok, danke. Ich denke, das ist mir soweit klar geworden.
Liebe Grüße
Patrick
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