Halley-Verfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Fr 30.07.2010 | | Autor: | TOYY1 |
Hallo liebe Mathematikfreunde,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bin auf der Suche nach einem Verfahren, dass möglichst schnell konvergiert, auf das Halley-Verfahren gestoßen. Das Newton-Verfahren legt vom Startwert eine Tangente an und nähert sich so der Nullstelle. Beim Halley-Verfahren legt man eine Hyperbel an. Die Gerade kann man einfach darstellen. Siehe Grafik Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren
Nun wollte ich fragen, wie sich die tangierende Hyperbel pro Lastschritt berechnen lässt, so dass ich auch diese visualisieren kann. Es geht darum, dass ich die Verfahren gegenüberstellen möchte. Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.
Viele Grüße
Frank
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Hallo TOYY1,
> Hallo liebe Mathematikfreunde,
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich bin auf der Suche nach einem Verfahren, dass möglichst
> schnell konvergiert, auf das Halley-Verfahren gestoßen.
> Das Newton-Verfahren legt vom Startwert eine Tangente an
> und nähert sich so der Nullstelle. Beim Halley-Verfahren
> legt man eine Hyperbel an. Die Gerade kann man einfach
> darstellen. Siehe Grafik Wikipedia:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren
>
> Nun wollte ich fragen, wie sich die tangierende Hyperbel
> pro Lastschritt berechnen lässt, so dass ich auch diese
> visualisieren kann. Es geht darum, dass ich die Verfahren
> gegenüberstellen möchte. Ich hoffe ich habe mich
> verständlich ausgedrückt.
Die tangierende Hyperbel ergibt sich nach diesem![[]](/images/popup.gif) Artikel.
Alternativ kannst Du den Ansatz
[mm]y=\bruch{a*x+b}{c*x+d}[/mm]
wählen, und die Hyperbel berechnen.
Hier ist zu beachten, daß die Hyperbel eine Näherung zweiter Ordnung ist.
>
> Viele Grüße
> Frank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Mo 02.08.2010 | | Autor: | TOYY1 |
Hallo MathePower,
vielen Dank für deine Antwort. Der Artikel auf Wikipedia war mir bekannt, nur leider sagt mir das nicht allzu viel. Die alternativ vorgeschlagene Formel von dir, sieht soweit verständlich aus, aber was setze ich für a,b,c,d ein? Ich denke an einem kurzen Beispiel würde mir die Sache besser einleuchten.
Bsp.: f(x)= [mm] x^3+x-1 [/mm] f'(x)= [mm] 3x^2+1 [/mm] f''(x)= 6x
Startwert x0= 2
somit ergibt sich für f(x0)= 9 f'(x0)= 13 f''(x0)= 12
und x1= 2 - (2 * 9 * 13) / (2 * 13 ^ 2 - 9 * 12)
x1= 0.982608696
Wie kann ich nun nach dem ersten Schritt den Funktionsverlauf der Hyperpel berechnen? Es wäre schön, wenn du mir helfen könntest.
Vielen Dank und einen guten Wochenstart
wünscht TOYY1.
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Hallo TOYY1,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Der Artikel auf Wikipedia
> war mir bekannt, nur leider sagt mir das nicht allzu viel.
> Die alternativ vorgeschlagene Formel von dir, sieht soweit
> verständlich aus, aber was setze ich für a,b,c,d ein? Ich
> denke an einem kurzen Beispiel würde mir die Sache besser
> einleuchten.
>
> Bsp.: f(x)= [mm]x^3+x-1[/mm] f'(x)= [mm]3x^2+1[/mm] f''(x)= 6x
>
> Startwert x0= 2
>
> somit ergibt sich für f(x0)= 9 f'(x0)= 13 f''(x0)= 12
>
> und x1= 2 - (2 * 9 * 13) / (2 * 13 ^ 2 - 9 * 12)
> x1= 0.982608696
>
> Wie kann ich nun nach dem ersten Schritt den
> Funktionsverlauf der Hyperpel berechnen? Es wäre schön,
> wenn du mir helfen könntest.
Mit Hilfe des Ansatzes
[mm]g\left(x}\right)=\bruch{a*x+b}{c*x+d}[/mm]
folgen die Gleichungen:
[mm]f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)[/mm]
[mm]f'\left(x_{0}\right)=g'\left(x_{0}\right)[/mm]
[mm]f''\left(x_{0}\right)=g''\left(x_{0}\right)[/mm]
folgt die einzig sinnvolle Lösung
[mm]g\left(x\right)=\bruch{\left( \ 2*f'\left(x_{0}\right)^{2}-f\left(x_{0}\right)*f''\left(x_{0} \right) \ \right)* \left(x-x_{0}\right) + 2*f\left(x_{0}\right)* f'\left(x_{0}\right)}{f''\left(x_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+2*f'\left(x_{0}\right)}[/mm]
Mit den obigen Werten ergibt sich:
[mm]g\left(x\right)=\bruch{\left( \ 2*13^{2}-9*12\right) * \left(x-2\right) + 2*9* 13}{12*\left(x-2\right)+2*13}[/mm]
Natürlich behält die angegeben Gleichung für jedes [mm]x_{i}[/mm] Gültigkeit,
wenn [mm]x_{0}[/mm] durch [mm]x_{i}[/mm] ersetzt wird.
>
> Vielen Dank und einen guten Wochenstart
> wünscht TOYY1.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Di 03.08.2010 | | Autor: | TOYY1 |
Hallo MathePower,
vielen vielen Dank für die gute Erläuterung, obwohl mir nicht ganz klar ist, wie sich die Formel für g(x) aus den davor genannten Bedingungen ergibt? Jedenfalls bin ich nun so vorgegangen und habe ein paar Wertepaare berechnet und mir in einem Excel-Diagramm ausgeben lassen. Seltsamerweise ist die Hyperbel konkav, die Funktion jedoch konvex. Ich hätte erwartet, dass sie die Hyperbel an die Funktion "anschmiegt"? Könnest du dir das bitte nochmal anschauen, ob die angegebene Formel stimmt?
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Vielen Dank und viele Grüße
TOYY1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: xlsm) [nicht öffentlich]
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Hallo TOYY1,
> Hallo MathePower,
>
> vielen vielen Dank für die gute Erläuterung, obwohl mir
> nicht ganz klar ist, wie sich die Formel für g(x) aus den
> davor genannten Bedingungen ergibt? Jedenfalls bin ich nun
> so vorgegangen und habe ein paar Wertepaare berechnet und
> mir in einem Excel-Diagramm ausgeben lassen. Seltsamerweise
> ist die Hyperbel konkav, die Funktion jedoch konvex. Ich
> hätte erwartet, dass sie die Hyperbel an die Funktion
> "anschmiegt"? Könnest du dir das bitte nochmal anschauen,
> ob die angegebene Formel stimmt?
Die angegebene Formel stimmt.
Für die Hyperbel erhalte ich: [mm]y=\bruch{230*x-226}{50-12*x}[/mm]
Dann sieht das so aus:
[Bild Nr. (fehlt/gelöscht)]
Rot ist hier die Hyperbel, blau die gegebene Funktion.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Datei-Anhang
> Vielen Dank und viele
> Grüße
> TOYY1
Gruss
MathePower
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mi 04.08.2010 | | Autor: | TOYY1 |
Hallo MathePower,
vielen Danke dir sehr für deine Mühen und Antworten. Leider sind sie etwas kurz formuliert und sicherlich sind dir diese ganzen Zusammenhänge klar, mir jedoch nicht. Deshalb würde ich dich bitten, ob du mir erklären kannst woher die Funktion von g(x) stammt und wie du auf die Hyperbelfunktion deines letzten Beitrags kommst? Wie errechne aus g(x) die Hyperbelfunktion? Da ich für weitere Iterationsschritte, diese Funktion selbst bestimmen möchte. Das gestern gezeigte Diagramm zeigte den Graphen von [mm] x^3+x-1 [/mm] (schwarz) und die Funktion g(x). Das heutige Bild zeigt zudem die Hyperbelfunktion, die du in deiner letzten Antwort dargestellt hast. Ich dachte die Funktion g(x) ist die Hyperbelfunktion? Ich wäre dir wirklich dankbar, wenn du deine Antwort so ausformulieren könntest, so dass Sie hilfreich für jemanden sind, der nicht Mathematik studiert hat.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank und viele Grüße
TOYY1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo TOYY1,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Danke dir sehr für deine Mühen und Antworten.
> Leider sind sie etwas kurz formuliert und sicherlich sind
> dir diese ganzen Zusammenhänge klar, mir jedoch nicht.
> Deshalb würde ich dich bitten, ob du mir erklären kannst
> woher die Funktion von g(x) stammt und wie du auf die
> Hyperbelfunktion deines letzten Beitrags kommst? Wie
> errechne aus g(x) die Hyperbelfunktion? Da ich für weitere
> Iterationsschritte, diese Funktion selbst bestimmen
> möchte. Das gestern gezeigte Diagramm zeigte den Graphen
> von [mm]x^3+x-1[/mm] (schwarz) und die Funktion g(x). Das heutige
> Bild zeigt zudem die Hyperbelfunktion, die du in deiner
> letzten Antwort dargestellt hast. Ich dachte die Funktion
> g(x) ist die Hyperbelfunktion? Ich wäre dir wirklich
> dankbar, wenn du deine Antwort so ausformulieren könntest,
> so dass Sie hilfreich für jemanden sind, der nicht
> Mathematik studiert hat.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Sei die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] vorgegeben,
von der eine Nullstelle berechnet werden soll.
Desweiteren wird hier das Halley-Verfahren benutzt.
Dazu wird die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] in einem
Punkt [mm]x_{0}[/mm] durch eine Hyperbel ersetzt.
Für die Hyperbelgleichung wird der Ansatz
[mm]y\left(x\right)=\bruch{a*x+b}{c*x+d}[/mm]
gewählt
Da eine Hyperbel eine Kurve zweiter Ordnung ist,
müssen zur Bestimmung der Hyperbel folgende
Gleichungen im Punkt [mm]x_{0}[/mm] gelten:
[mm]y\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)[/mm]
[mm]y'\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)[/mm]
[mm]y''\left(x_{0}\right)=f''\left(x_{0}\right)[/mm]
Dies ist äquivalent mit folgenden Gleichungen:
[mm]\bruch{a*x_{0}+b}{c*x_{0}+d}=f\left(x_{0}\right)[/mm]
[mm]\bruch{a*d-b*c}{\left(c*x_{0}+d\right)^{2}}=f'\left(x_{0}\right)[/mm]
[mm]\bruch{2*a*c*d-b*c^{2}}{\left(c*x_{0}+d\right)^{3}}=f''\left(x_{0}\right)[/mm]
Die Lösung des Gleichungssystems fördert mehrer Lösungen zu Tage:
1) [mm]a=s, \ b= -s*x_{0}, \ c= t, \ d= -t*x_{0}, \ s,t \in \IR[/mm]
2) [mm]a=s, \ b= s*\bruch{x_{0}*\left(2*f'\left(x_{0}\right)^{2}-f\left(x_{0}\right)*f''\left(x_{0}\right)\right)-2*f\left(x_{0}\right)*f'\left(x_{0}\right)}{f\left(x_{0}\right)*f''\left(x_{0}\right)-2*f'\left(x_{0}\right)^{2}}[/mm]
[mm]c=s*\bruch{f''\left(x_{0}\right)}{f\left(x_{0}\right)*f''\left(x_{0}\right)-2*f'\left(x_{0}\right)^{2}}, \ d= s*\bruch{x_{0}*f''\left(x_{0}\right)+2*f'\left(x_{0}\right)}{f\left(x_{0}\right)*f''\left(x_{0}\right)-2*f'\left(x_{0}\right)^{2}}[/mm]
3) [mm]a=0, \ b=0, \ c=0, \ d=0[/mm]
Sofort ersichtlich ist, daß 3) keine Lösung liefert.
Für die Lösung 1) ergibt sich:
[mm]y\left(x\right)=\bruch{s*x-s*x_{0}}{t*x-t*x_{0}}=\bruch{s*\left(x-x_{0}\right)}{t*\left(x-x_{0}\right)}=\bruch{s}{t}[/mm]
Die Lösung 1) liefert eine konstante Funktion,
ist also nicht zu gebrauchen.
Bleibt als einzig sinnvolle Lösung die 2).
Eingesetzt in den Ansatz liefert das:
[mm]y\left(x\right)=\bruch{\left(2*\left(f'\left(x_{0}\right)\right)^{2}-f\left(x_{0}\right)*f''\left(x_{0}\right)\right)*\left(x-x_{0}\right)+2*f\left(x_{0}\right)*f'\left(x_{0}\right)}{2*f'\left(x_{0}\right)-\left(x-x_{0}\right)*f''\left(x_{0}\right)}[/mm]
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> TOYY1
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 05.08.2010 | | Autor: | TOYY1 |
Hallo MathePower,
vielen Dank das war super erklärt :o). Nun bleiben noch drei Fragen offen, dann bin ich wunschlos glücklich und ich dir außerordentlich dankbar für deine Geduld.
Ist die rote Funktion g(x) oder die gelbe Funktion die Hyperbel? Ich hatte eine Excel Datei angehangen.
Warum ist g(x) konkav und nicht auch konvex, wenn das die Hyperbel ist?
Die wichtigste Frage aber ist, wie komme ich auf die Funktion aus deinem letzten Beitrag, sprich y= (230*x-226)/(50-12*x) ??
Vielen Dank und viele Grüße TOYY1
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Hallo TOYY1,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank das war super erklärt :o). Nun bleiben noch
> drei Fragen offen, dann bin ich wunschlos glücklich und
> ich dir außerordentlich dankbar für deine Geduld.
>
> Ist die rote Funktion g(x) oder die gelbe Funktion die
> Hyperbel? Ich hatte eine Excel Datei angehangen.
Die gelbe Funktion ist die richtige Hyperbel.
>
> Warum ist g(x) konkav und nicht auch konvex, wenn das die
> Hyperbel ist?
Das liegt wohl daran, daß die ersten beiden Ableitungen von g(x)
an der Stelle x=2 nicht mit denen der gegebenen Funktion an der
selben Stelle übereinstimmen.
>
> Die wichtigste Frage aber ist, wie komme ich auf die
> Funktion aus deinem letzten Beitrag, sprich y=
> (230*x-226)/(50-12*x) ??
Setze die Werte [mm]x_{0}=2, \ f\left(x_{0}\right)=9, \ f'\left(x_{0}\right)=13, \¸f''\left(x_{0}\right)=12[/mm] in die Formel
[mm]y\left(x\right)=\bruch{\left(2\cdot{}\left(f'\left(x_{0}\right)\right)^{2}-f\left(x_{0}\right)\cdot{}f''\left(x_{0}\right)\right)\cdot{}\left(x-x_{0}\right)+2\cdot{}f\left(x_{0}\right)\cdot{}f'\left(x_{0}\right)}{2\cdot{}f'\left(x_{0}\right)-\left(x-x_{0}\right)\cdot{}f''\left(x_{0}\right)}[/mm]
ein.
[mm]y\left(x\right)=\bruch{\left(2\cdot{}\left(f'\left(2\right)\right)^{2}-f\left(2\right)\cdot{}f''\left(2\right)\right)\cdot{}\left(x-2\right)+2\cdot{}f\left(2\right)\cdot{}f'\left(2\right)}{2\cdot{}f'\left(2\right)-\left(x-2\right)\cdot{}f''\left(2\right)}[/mm]
[mm]=\bruch{\left(2\cdot{}13^{2}-9\cdot{}12\right)\cdot{}\left(x-2\right)+2\cdot{}9\cdot{}13}{2\cdot{}13-\left(x-2\right)\cdot{}12}[/mm]
[mm]=\bruch{230\cdot{}\left(x-2\right)+234}{26-\left(x-2\right)\cdot{}12}[/mm]
[mm]=\bruch{230*x-460+234}{26-12*x+24}=\bruch{230*x-226}{50-12*x}[/mm]
>
> Vielen Dank und viele Grüße TOYY1
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Fr 06.08.2010 | | Autor: | TOYY1 |
Hallo MathePower,
vielen herzlichen Dank für deine ausführlichen Hinweise. Das hat mir sehr weiter geholfen. DANKE!
Ich wünsche dir ein schönes Wochenende
viele Grüße TOYY1
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