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[mm] f(t)=70*(1+e^{-at})-50
[/mm]
f(t) gibt die momentane Temperatur an.
Aufgabe ist, die Zeit herauszufinden, bei der sich die Temperatur um die Hälfte verringert.
Mein Ansatz ist:
[mm] \bruch{f(t)}{2}=f(t+T_{\bruch{1}{2}}) [/mm]
[mm] \gdw \bruch{70*(1+e^{-at})-50}{2} [/mm] = [mm] 70*(1+e^{-a(t+T_{\bruch{1}{2}})})-50 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}*(1+e^{-at})+ \bruch{5}{14} [/mm] = [mm] 1+e^{-a(t+T_{\bruch{1}{2}})} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}e^{-at}- \bruch{1}{7} [/mm] = [mm] e^{-a(t+T_{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}e^{-at}- \bruch{1}{7} [/mm] = [mm] e^{-at}*e^{-aT_{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] \gdw e^{-at} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{2}- e^{-aT_{\bruch{1}{2}}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
Wie löse ich das nach [mm] T_{\bruch{1}{2}} [/mm] auf?
Ich schaffe es nur in Abhängigkeit von t, geht es auch ohne?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Mi 07.04.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Heatshawk,
was ist Dein Bezugspunkt, um die Hälfte zu bestimmen? Ich nehme mal an, das soll die Temperatur zum Zeitpunkt t = 0 sein. Setze das in der linken Seite der Gleichung ein und dann kannst Du nach der Halbwertszeit das Ganze auflösen.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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Wenn ich t=0 voraussetzen muss heißt das doch, dass die Halbwertszeit nicht für beliebige t gilt, oder?
Bei einer Funktion gemäß [mm] c*e^{at} [/mm] musste man keinen Bezugspunkt haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
da Deine Funktion aber die Gestalt
$ [mm] f(t)=70\cdot{}(1+e^{-at})-50 =70*e^{-at}+20$
[/mm]
hat, kann das nicht sein, denn sie konvergiert gegen 20. Die Zeit, in der sich der Abstand zu 20 halbiert, ist aber konstant.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Sa 10.04.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(t)=70*(1+e^{-at})-50[/mm]
> f(t) gibt die momentane Temperatur an.
> Aufgabe ist, die Zeit herauszufinden, bei der sich die
> Temperatur um die Hälfte verringert.
Hallo,
was soll denn "die Hälfte" sein?
Die halbe Celsius-Temperatur?
Die halbe Kelvin-Temperatur?
Der Mittelwert von Anfangs- und Endtemperatur?
Die gegebene Gleichung hat bei t=0 den Anfangswert 90 (Grad_was_auch_immer) und bei [mm] t=\infty [/mm] den Endwert 20.
Gruß Abakus
>
> Mein Ansatz ist:
>
>
> [mm]\bruch{f(t)}{2}=f(t+T_{\bruch{1}{2}})[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{70*(1+e^{-at})-50}{2}[/mm] =
> [mm]70*(1+e^{-a(t+T_{\bruch{1}{2}})})-50[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}*(1+e^{-at})+ \bruch{5}{14}[/mm] =
> [mm]1+e^{-a(t+T_{\bruch{1}{2}})}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}e^{-at}- \bruch{1}{7}[/mm] =
> [mm]e^{-a(t+T_{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}e^{-at}- \bruch{1}{7}[/mm] =
> [mm]e^{-at}*e^{-aT_{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{-at}[/mm] * ( [mm]\bruch{1}{2}- e^{-aT_{\bruch{1}{2}}})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
>
>
> Wie löse ich das nach [mm]T_{\bruch{1}{2}}[/mm] auf?
> Ich schaffe es nur in Abhängigkeit von t, geht es auch
> ohne?
>
> Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Sa 10.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Lösung hängt von t ab und existiert natürlich auch nicht für belibige t, da ab einem gewissen Zeitpunkt die Hälfte von f(t) kleiner als 20 wird.
[mm] T_{\bruch{1}{2}}=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{7}*e^{\alpha*t}\right) [/mm] ist die Lösung und
[mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{7}*e^{\alpha*t} [/mm] > 0 [mm] \gdw t<\bruch{1}{\alpha}*ln\left(\bruch{7}{2}\right) [/mm] die die Einschränkung für den Lösungsbereich.
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