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| Aufgabe | | Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ [/mm] halbstetig von unten und [mm] $K\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] kompakt. Nimmt die Einschränkung [mm] $f|_K$ [/mm] ihr Maximum/Minimum an? |
Es gibt einen analogen Satz über stetige Funktionen, der besagt, dass diese auf kompakten Mengen ihr Maximum/Minimum annehmen.
Ich gehe daher davon aus, dass dies unter der schwächeren Voraussetzung der Halbstetigkeit NICHT gilt. Nun haben wir den Begriff "Halbstetigkeit von unten" gerade erst eingeführt und ich bin noch nicht nicht wirklich warm mit ihm geworden.
Ich habe mir alles jetzt mehrfach durchgelesen, aber ich weiß einfach nicht, wie ich am besten zeigen kann, dass das Maximum/Minimum nicht angenommen wird.
Könnt Ihr mir dabei weiterhelfen? Mir vielleicht auch erstmal sagen, ob ich nicht komplett irre und das Maximum/Minimum doch angenommen wird?
Vielen Dank vorab an jeden der hilft.
Liebe Grüße
Differential
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Ich habe mittlerweile beweisen können, dass die Funktion ihr Minimum annimmt. Für das Maximum gilt dies jedoch nicht (dies gilt für von oben halbstetige Funktionen).
Aber mir gelingt es nicht ein Gegenbeispiel zu finden. Hat da jemand eine Idee?
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Hiho,
[mm] $f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x} & \mbox{für } x>0 \\ 0 & \mbox{für }x=0 \end{cases}$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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Hi,
auf welchem kompakten Intervall besitzt diese Funktion keine Maximalstelle? So richtig vertanden habe ich das irgendwie nicht. Könntest du mir das genauer erklären? Ich danke dir schon mal vorab für deine Mühen.
Liebe Grüße
Differential
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Hiho,
nimm das Intervall [0,1]
Und jetzt begründe mal, warum das kein Maximum besitzt.
Oder wenn du meinst, es hätte eins, verrat es mir 
Gruß,
Gono.
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Ja, du hast natürlich recht ;) Vielen Dank für deine Hilfe!
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