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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Mo 06.11.2006 | | Autor: | krainer |
| Aufgabe | Es sei [mm] (M,\preceq) [/mm] eine halbgeornete Menge mit [mm]\left| M \right| \geq 2[/mm]. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen:
(i) Ist [mm]a \in M[/mm] gleichzeitig minimales und maximales Element, so ist [mm]a[/mm] mit keinem anderen Element vergleichbar.
(ii)Besitzt [mm]M[/mm] ein kleinstes Element, so beitzt [mm]M[/mm] nur endlich viele maximale Elemente.
(iii)... |
Hi zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit Halbordnungen und mir fehlt noch das richtige Verständnis.
Genauergesagt verstehe ich in dem Zusammenhang nicht was "vergleichbar" bedeutet. Ich hab mir bei (i) folgendes überlegt, wenn [mm]a \in M[/mm] gleichzeitig minimales und maximales Element ist und [mm]\left| M \right| \geq 2[/mm], dann muss es ja mind. ein Element geben, dass die gleiche "Wertigkeit" hat wie a, aber ist dann noch die "Vergleichbarkeit" möglich!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
[mm] (M,\leq) [/mm] ist ja Halbordnung gdw [mm] \leq [/mm] reflexiv und transitiv ist, nicht wahr.
Ein Element a [mm] \in [/mm] M heisst maximal gdw es kein [mm] b\in [/mm] M mit [mm] b\neq [/mm] a und [mm] a\leq [/mm] b gibt.
Analog ist die Definition minimaler Elemente.
Also ist a maximal und minimal gdw es kein [mm] b\neq [/mm] a, [mm] b\in [/mm] M gibt mit [mm] a\leq [/mm] b oder [mm] b\leq [/mm] a.
Zum zweiten Teil:
Betrachte [mm] M=\IN_0 [/mm] und [mm] \leq=\{(0,n)|n\in\IN\}\cup\{(n,n)|n\in \IN\}.
[/mm]
Dann sollte doch [mm] (M,\leq) [/mm] eine Halbordnung sein, und alle [mm] n\in\IN_{\neq 0\} [/mm] sind maximal.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mo 06.11.2006 | | Autor: | krainer |
Hi Mathias!
Da lag ich mit meiner etwas wirren Vermutung bei (i) gar nicht so falsch. 
Teil (ii) habe ich jetzt auch verstanden, und kann die restlichen Aufgaben sicherlich lösen!
Dankeschön für die Hilfe!
Gruß,
Rainer
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