Halbkompakte Doppelmenge ? < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sind die folgenden Mengen jeweils offen, oder abgeschlossen oder kimpakt ?
Bestimmen Sie jeweils auch den Rand und fertigen Sie eine Skizze an.
b) M = {(x,y) [mm] \in [/mm] R² I 1 < x² + 3y² [mm] \le [/mm] 4}
c) M = {(x,y) [mm] \in [/mm] R² I IxI + IyI <1} |
Okay, nun habe ich diese Teilaufgaben vor mir liegen und kann das Ergebnis einfach nicht interpretieren.
DENN :
TEILAUFGABE b) :
skizziert sieht das Ganze so aus, wie 2 Ellipsen, wobei das "dazwischen" zur Menge gehört.
Auch weiß ich, dass die obere menge einen Rand hat = Abgeschlossen und zudem auch noch beschränkt ist.
Die untere Menge (die kleine Ellipse) ist auch beschränkt, jedoch nicht abgeschlossen da sie keinen Rand hat).
Wie ist das nun zu interpretieren ? ==> Ist die Doppelmenge etwa als ganzes kompakt ? (würde ja Sinn ergeben) oder kann man es hier nicht so pauschal sagen ?
Und nun das richtig wichtige : Wenn ich nun z.B. die Extrema untersuche, so weiß ich, dass bei einer kompakten Menge die Extrempunkte definitiv vorhandne sind.
Was passoert, wenn ich zum beispiel solch eine Menge vor mir habe ? Kann ich diesen "Trick" auch anwenden (nähmlich auf die große abgeschlossene und beschränkte Menge) ?
PS: Hat mir jemand einen kleinen Tipp zur Teilaufgabe c) ?
Bitte um eure Hilfe 
Liebe Grüße,
Euer KGB-Spion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> TEILAUFGABE b) :
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> skizziert sieht das Ganze so aus, wie 2 Ellipsen, wobei das
> "dazwischen" zur Menge gehört.
> Auch weiß ich, dass die obere menge einen Rand hat =
> Abgeschlossen und zudem auch noch beschränkt ist.
>
> Die untere Menge (die kleine Ellipse) ist auch beschränkt,
> jedoch nicht abgeschlossen da sie keinen Rand hat).
Obere Menge? Untere Menge? Das ist irgendwie total unglücklich formuliert von dir. Du meinst das richtige aber schreibst es schlecht auf.
Es ist nur eine Menge, welche einen nicht zusammenhängenden Rand. Die Menge ist beschränkt, das hast du richtig erkannt.
Der äußere Rand gehört zur Menge, der innere Rand nicht (du hast geschrieben, dass die "untere Menge" keinen Rand hat - das ist falsch. Sie hat einen aber er gehört nicht zu der Menge). Also ist die Menge nicht abgeschlossen, da es Randpunkte gibt, die nicht in der Menge liegen.
>
> Wie ist das nun zu interpretieren ? ==> Ist die Doppelmenge
> etwa als ganzes kompakt ? (würde ja Sinn ergeben) oder kann
> man es hier nicht so pauschal sagen ?
Im [mm] \IR^n [/mm] ist "kompakt" äquivalent zu "beschränkt und abgeschlossen". Deine Menge ist nicht abgeschlossen.
>
> Und nun das richtig wichtige : Wenn ich nun z.B. die
> Extrema untersuche, so weiß ich, dass bei einer kompakten
> Menge die Extrempunkte definitiv vorhandne sind.
Du meinst, wenn du eine stetige Funktion hast die auf einer kompakten Menge definiert ist und in die reellen Zahlen abbildet, dass diese Funktion dann ein Maximum und Minimum hat?
Denn so wie du es hingeschrieben hast würde es bedeuten, dass du das Maximum/Minimum einer Menge im [mm] \IR^2 [/mm] meinst - und die haben keine, da der [mm] \IR^2 [/mm] nicht geordnet ist normalerweise.
> Was passoert, wenn ich zum beispiel solch eine Menge vor
> mir habe ? Kann ich diesen "Trick" auch anwenden (nähmlich
> auf die große abgeschlossene und beschränkte Menge) ?
Was meinst du mit "große, abgeschlossene und beschränkte Menge"? Die ganze Menge oder nur deine "obere Menge" - was auch immer das sein soll.
Welcher "Trick"?
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> PS: Hat mir jemand einen kleinen Tipp zur Teilaufgabe c) ?
Mal sie dir hin. Ermittele ihren Rand. Schau, ob der Rand Teil der Menge ist.
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| Aufgabe | | Der äußere Rand gehört zur Menge, der innere Rand nicht (du hast geschrieben, dass die "untere Menge" keinen Rand hat - das ist falsch. Sie hat einen aber er gehört nicht zu der Menge). Also ist die Menge nicht abgeschlossen, da es Randpunkte gibt, die nicht in der Menge liegen. |
Ich habe Deine Erklärung durchgelesen, und möchte mich zunächst einmal bei Dir bedanken, dafür, dass Du Dir die Zeit nimmst, mir zu helfen.
Sicherlich fällt es mir schwer, mich verständlich auszudrücken, dies liegt aber keinesfalls daran, dass ich in irgendeiner Weise "faul" bin, sondern einfach nur daran, dass ich mir die deutsche Sprache neben 4 weiteren Sprachen anlernen musste, und somit über ein (leider) sehr beschränktes Sprachkontingent verfüge (Mathe gehört leider noch (!!!) nicht vollständig dazu).
Ich bin beim Durchlesen Deiner Erklärung auf den folgenden Satz gestoßen (er steht in dem Bereich "Aufgaben"). Kannst Du mir bitte genauer erklären, wie die "untere" Menge dennoch einen Rand haben kann, welcher jedoch nicht zu ihr gehört ? Ja, die ist beschränkt, durch den Rand der "oberen" Menge. Aber wie ist es nun zu deuten, wenn diese Menge tatsächlich einen "Rand" hat, welcher nicht zur Menge gehört?
Dann ist diese Menge ja gar nicht kompakt ? Sondern lediglich "kompakt relativ zur Gesamtheit unseres R²" ?
Liebe Grüße und BITTE BITTE HELFT MIR,
Euer KGB-Spion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Der äußere Rand gehört zur Menge, der innere Rand nicht (du
> hast geschrieben, dass die "untere Menge" keinen Rand hat -
> das ist falsch. Sie hat einen aber er gehört nicht zu der
> Menge). Also ist die Menge nicht abgeschlossen, da es
> Randpunkte gibt, die nicht in der Menge liegen.
> Ich habe Deine Erklärung durchgelesen, und möchte mich
> zunächst einmal bei Dir bedanken, dafür, dass Du Dir die
> Zeit nimmst, mir zu helfen.
>
> Sicherlich fällt es mir schwer, mich verständlich
> auszudrücken, dies liegt aber keinesfalls daran, dass ich
> in irgendeiner Weise "faul" bin, sondern einfach nur daran,
> dass ich mir die deutsche Sprache neben 4 weiteren Sprachen
> anlernen musste, und somit über ein (leider) sehr
> beschränktes Sprachkontingent verfüge (Mathe gehört leider
> noch (!!!) nicht vollständig dazu).
Das "Problem" ist aber, dass es in der Mathematik extrem wichtig ist sich -exakt- Auszudrücken. Denn sonst kommt es immer zu Missverständnissen, denn selbst ein falsches Zeichen am falschen Ort kann in der Mathematik den kompletten Sinn des Satzes entstellen.
Meine Kritik war positiv gemeint, ich wollte dich darauf aufmerksam machen.
>
> Ich bin beim Durchlesen Deiner Erklärung auf den folgenden
> Satz gestoßen (er steht in dem Bereich "Aufgaben"). Kannst
> Du mir bitte genauer erklären, wie die "untere" Menge
> dennoch einen Rand haben kann, welcher jedoch nicht zu ihr
> gehört ? Ja, die ist beschränkt, durch den Rand der
> "oberen" Menge. Aber wie ist es nun zu deuten, wenn diese
> Menge tatsächlich einen "Rand" hat, welcher nicht zur Menge
> gehört?
"Rand" hat in der Mathematik eine etwas andere Bedeutung.
Nimm z.B. das Intervall [mm][0,1] \subset \IR[/mm]. Dessen Rand ist [mm]\{0,1\}[/mm].
Jetzt betrachte das Intervall [mm](0,1) \subset \IR[/mm]. Dessen Rand ist ebenfalls [mm]\{0,1\}[/mm].
Wenn du jetzt aber [mm](0,1) \subset \IR^2[/mm] hast, dann ist der Rand [mm][0,1][/mm].
Für den Rand nimmt man das Zeichen [mm] \partial. [/mm] Also z.B. [mm]\partial \IR (\subset \IR) = \emptyset[/mm] und [mm]\partial \IR (\subset \IR^2) = \IR (\subset \IR^2)[/mm].
Schau dir am Besten die genau Definition davon an: ![[]](/images/popup.gif) Wiki-Link.
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> Dann ist diese Menge ja gar nicht kompakt ? Sondern
> lediglich "kompakt relativ zur Gesamtheit unseres R²" ?
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Wenn du mit relativ kompakt die Definition auf Wikipedia meinst, dann ja.
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