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Halbgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Di 14.11.2006
Autor: xsara

Aufgabe
Sei M eine Menge und * eine Verknüpfung auf M. Für (M,*) gelte das Assoziativgesetz. (In diesem Fall nennt man (M,*) auch eine Halbgruppe). Ferner gebe es in M eine Linkseins und zu jedem Element ein Rechtsinverses, d.h.
[mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] M  [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M: e*a=a
und
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M  [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] M: a*b=e.

Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass dann (M,*) im allgemeinen keine Gruppe ist.
Hinweis: Wie steht es mit der Menge
M:={f: [mm] \IZ \to \IZ: f(\IZ) \subset \IN_0, f|_\IN_0 [/mm] ist Bijektion auf [mm] \IN_{0} [/mm] },
versehen mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung?

Ich nehme an, dass die Verknüpfung * für die Hintereinanderausführung von Abbildungen steht. Dann wäre mir die Assoziativität klar.

Für die Halbgruppe muss ich zeigen, dass für (M.*)
1) Assoziativität
2) Existenz der Linkseins (des Linksneutralen)
3) Existenz des Rechtsinversen
gilt.

Nach der Definition der Linkseins muss gelten: [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M: e [mm] \circ [/mm] f = f.
Nach der Definition des Rechtsinversen muss gelten: g [mm] \in [/mm] M, so dass f [mm] \circ [/mm] g = e.

Wie finde ich eine solche Linkseins bzw. ein solches Rechtsinverses?

Ist meine Annahme, dass es sich bei der Verknüpfung um eine Hintereinanderausführung handelt, falsch?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

xsara

        
Bezug
Halbgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mi 15.11.2006
Autor: moudi


> Sei M eine Menge und * eine Verknüpfung auf M. Für (M,*)
> gelte das Assoziativgesetz. (In diesem Fall nennt man (M,*)
> auch eine Halbgruppe). Ferner gebe es in M eine Linkseins
> und zu jedem Element ein Rechtsinverses, d.h.
> [mm]\exists e \in M \forall a \in M: e*a=a[/mm]
>  und
> [mm]\forall a \in M \exists b \in M: a*b=e.[/mm]
>  
> Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass dann (M,*) im
> allgemeinen keine Gruppe ist.
>  Hinweis: Wie steht es mit der Menge
>  [mm] M:=\{f: \IZ \to \IZ: f(\IZ) \subset \IN_0, f|_\IN_0\}[/mm] ist
> Bijektion auf [mm]\IN_{0}[/mm],
>  versehen mit der Komposition von Abbildungen als
> Verknüpfung?
>  Ich nehme an, dass die Verknüpfung * für die
> Hintereinanderausführung von Abbildungen steht. Dann wäre
> mir die Assoziativität klar.
>  
> Für die Halbgruppe muss ich zeigen, dass für (M.*)
>  1) Assoziativität
>  2) Existenz der Linkseins (des Linksneutralen)
>  3) Existenz des Rechtsinversen
>  gilt.
>  
> Nach der Definition der Linkseins muss gelten: [mm]\forall[/mm] f
> [mm]\in[/mm] M: e [mm]\circ[/mm] f = f.
> Nach der Definition des Rechtsinversen muss gelten: g [mm]\in[/mm]
> M, so dass f [mm]\circ[/mm] g = e.
>  
> Wie finde ich eine solche Linkseins bzw. ein solches
> Rechtsinverses?
>  
> Ist meine Annahme, dass es sich bei der Verknüpfung um eine
> Hintereinanderausführung handelt, falsch?

Hallo xsara

Nein ich denke es ist scho richtig.

e muss eingeschränkt auf [mm] $\IN_0$ [/mm] muss natürlich die Idendität sein i.e. e(x)=x für [mm] $x\in\IN_0$ [/mm] und [mm] $g|_{\IN_0}$ [/mm] muss natürlich die Umkehrfunktion von f sein.

mfG Moudi

>  
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>  
> xsara

Bezug
                
Bezug
Halbgruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 Mi 15.11.2006
Autor: xsara

Hallo Moudi!

Das mit der Identitätsabbildung ist eine tolle Idee. Werde ich gleich mal ausprobieren.


Vielen Dank!

Bezug
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