Häufungswerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Do 15.05.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | (a)Zu bestimmen sind (falls existent) die Häufungswerte der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit
[mm] (a_{n}):=(-1)^{n}(b_{n}+\bruch{1}{n}), [/mm] wobei [mm] b_{n}:=\begin{cases} 1, & \mbox{falls n oder n+1 durch 4 teilbar ist } \\ 2, & \mbox{falls nicht } \end{cases}
[/mm]
Falls existent sollen auch [mm] liminf_{n\rightarrow\infty}(a_{n}) [/mm] und [mm] limsup_{n\rightarrow\infty}(a_{n}) [/mm] angegeben werden.
b) Sei [mm] j:\begin{cases} \IN\rightarrow\IQ \\ n\mapsto(r_{n}) \end{cases} [/mm] eine bijektive Abzählung von [mm] \IQ. [/mm] Zeigen Sie, dass jede reelle Zahl ein Häufungswert der Folge [mm] (r_{n}) [/mm] ist. |
Wie könnte ich bei dieser Aufgabe anfangen? Mein Problem ist dieses [mm] (b_{n}).
[/mm]
Wäre nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Do 15.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> (a)Zu bestimmen sind (falls existent) die Häufungswerte
> der Folge [mm](a_{n})[/mm] mit
> [mm](a_{n}):=(-1)^{n}(b_{n}+\bruch{1}{n}),[/mm] wobei
> [mm]b_{n}:=\begin{cases} 1, & \mbox{falls n oder n+1 durch 4 teilbar ist } \\ 2, & \mbox{falls nicht } \end{cases}[/mm]
>
> Falls existent sollen auch
> [mm]liminf_{n\rightarrow\infty}(a_{n})[/mm] und
> [mm]limsup_{n\rightarrow\infty}(a_{n})[/mm] angegeben werden.
> b) Sei [mm]j:\begin{cases} \IN\rightarrow\IQ \\ n\mapsto(r_{n}) \end{cases}[/mm]
> eine bijektive Abzählung von [mm]\IQ.[/mm] Zeigen Sie, dass jede
> reelle Zahl ein Häufungswert der Folge [mm](r_{n})[/mm] ist.
> Wie könnte ich bei dieser Aufgabe anfangen? Mein Problem
> ist dieses [mm](b_{n}).[/mm]
>
> Wäre nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
Zu (a):
Es ist doch [mm] b_{4k}=b_{4k-1}=1 [/mm] und [mm] b_{4k-2}=b_{4k-3}=2.
[/mm]
Berechne damit die Teilfolgen [mm] (a_{4k}), (a_{4k-1}), (a_{4k-2}) [/mm] und [mm] (a_{4k-3}) [/mm] und deren Grenzwerte.
Hast Du zu (b) keine Fragen ?
FRED
>
> Dank im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
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