Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Di 10.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge [mm] a_{n} [/mm] := [mm] cos(n*\frac{\pi}{k} [/mm] ) mit [mm] k\in \mathbb [/mm] N |
Leider finde ich überhaupt keinen Ansatz. Womit sollte ich anfangen? Ein Häufungspunkt ist ja Grenzwert einer Teilfolge. Der Kosinus nimmt ja abwechselnd Werte zwischen 1 und -1 an. Das müssten dann auch die Häufungspunkte sein, aber wie komme ich rechnerisch darauf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mi 11.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Lesbia,
die Aufgabe ist ein bisschen hinterlistig.
> Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge [mm]a_{n}[/mm] :=
> [mm]cos(n*\frac{\pi}{k}[/mm] ) mit [mm]k\in \mathbb[/mm] N
> Leider finde ich überhaupt keinen Ansatz. Womit sollte
> ich anfangen? Ein Häufungspunkt ist ja Grenzwert einer
> Teilfolge. Der Kosinus nimmt ja abwechselnd Werte zwischen
> 1 und -1 an. Das müssten dann auch die Häufungspunkte
> sein, aber wie komme ich rechnerisch darauf?
Nein, Häufungspunkt ist jeder Punkt x mit [mm] -1\le x\le1.
[/mm]
Es ist zwar schwierig, zu einem solchen x eine Teilfolge zu finden, aber einfach ist es dagegen, zu zeigen, dass mindestens eine solche existiert.
edit: Quatsch. Ich habe das n im Nenner gesehen. War wohl doch schon zu spät; jedenfalls war ich unaufmerksam und das hier oben ist schlicht falsch. Pardon.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
> Nein, Häufungspunkt ist jeder Punkt x mit [mm]-1\le x\le1.[/mm]
Das verstehe ich nicht, wie kommst du darauf?
> Es
> ist zwar schwierig, zu einem solchen x eine Teilfolge zu
> finden, aber einfach ist es dagegen, zu zeigen, dass
> mindestens eine solche existiert.
Es existiert doch dann eine Teilfolge, wenn es einen Häufungspunkt gibt, oder? Aber wie zeige ich das. Diese Aufgabe überfordert mich um ehrlich zu sein.
Danke für deine Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Mi 11.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fuer eine Folge ist k ja fest. bei k=1 hast du die HP 1 und -1 kannst du dann eine Teilfolge finden mit nur HP=1?
dann nimm k=3 oder k=5 oder k+1001 oder k=... ,welche HP hast du jetzt? wie findest du ne konv. Teilfolge?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
> Hallo
> Fuer eine Folge ist k ja fest. bei k=1 hast du die HP 1
> und -1 kannst du dann eine Teilfolge finden mit nur HP=1?
> dann nimm k=3 oder k=5 oder k+1001 oder k=... ,welche HP
> hast du jetzt? wie findest du ne konv. Teilfolge?
Danke für deine Antwort.
Also nehmen wir mal die Teilfolge für k=1
[mm] b_{n} [/mm] := [mm] a_{2n} [/mm] = [mm] \cos(2n*\pi [/mm] ) =1
Für k=3
[mm] c_{n} [/mm] := [mm] a_{6n+1} [/mm] = [mm] \cos((6n+1)*\frac{\pi }{3} [/mm] ) =0,5
Für k=5
[mm] d_{n} [/mm] := [mm] a_{10n+1} [/mm] = [mm] \cos((10n+1)*\frac{\pi }{5} [/mm] ) [mm] \approx [/mm] 0,81
Stimmt das so?
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Hallo Lesbia,
wo ich gestern so'n Unsinn geschrieben habe (s.o., ist aber jetzt redigiert), hier doch mal eine richtige Rückmeldung:
> Also nehmen wir mal die Teilfolge für k=1
>
> [mm]b_{n}[/mm] := [mm]a_{2n}[/mm] = [mm]\cos(2n*\pi[/mm] ) =1
>
> Für k=3
>
> [mm]c_{n}[/mm] := [mm]a_{6n+1}[/mm] = [mm]\cos((6n+1)*\frac{\pi }{3}[/mm] ) =0,5
>
> Für k=5
>
> [mm]d_{n}[/mm] := [mm]a_{10n+1}[/mm] = [mm]\cos((10n+1)*\frac{\pi }{5}[/mm] ) [mm]\approx[/mm]
> 0,81
>
> Stimmt das so?
Ja, aber warum so kompliziert? Nimm doch einfach die Teilfolge [mm] (a_{2kn}). [/mm] Die hat immer den (Häufungs-)Wert 1.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
> Ja, aber warum so kompliziert? Nimm doch einfach die
> Teilfolge [mm](a_{2kn}).[/mm] Die hat immer den (Häufungs-)Wert 1.
Meinst du so?
$ [mm] b_{n} [/mm] $ := $ [mm] a_{2kn} [/mm] $ = $ [mm] \cos(2n\cdot{}\pi [/mm] $ ) =1
Muss man denn nicht immer zwischen geradem und ungeradem k unterscheiden?
Danke.
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Hallo,
> > Ja, aber warum so kompliziert? Nimm doch einfach die
> > Teilfolge [mm](a_{2kn}).[/mm] Die hat immer den (Häufungs-)Wert 1.
>
> Meinst du so?
>
> [mm]b_{n}[/mm] := [mm]a_{2kn}[/mm] = [mm]\cos(2n\cdot{}\pi[/mm] ) =1
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss man denn nicht immer zwischen geradem und ungeradem k
> unterscheiden?
Wieso? Das k steht im Nenner. Du verwechselst das vielleicht gerade mit [mm] \cos{(k\pi)}, [/mm] oder?
> Danke.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
> > Muss man denn nicht immer zwischen geradem und ungeradem k
> > unterscheiden?
>
> Wieso? Das k steht im Nenner. Du verwechselst das
> vielleicht gerade mit [mm]\cos{(k\pi)},[/mm] oder?
hmm, ich hätte irgendwie gedacht dass ein gerader bzw. ungerader Nenner den Bruch verändert, aber gut :D
Jetzt muss ich wohl eine Teilfolge finden, die gegen -1 konvergiert, oder?
[mm] b_{n} [/mm] := [mm] a_{(2n+1)k} [/mm] = [mm] \cos((2n+1)*\pi) [/mm] = -1
Waren das nun alle?
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Hallo Lesbia,
> Jetzt muss ich wohl eine Teilfolge finden, die gegen -1
> konvergiert, oder?
>
> [mm]b_{n}[/mm] := [mm]a_{(2n+1)k}[/mm] = [mm]\cos((2n+1)*\pi)[/mm] = -1
Soweit gut.
> Waren das nun alle?
Nein, Du hattest vorhin doch schon andere gefunden, z.B. für k=3 [mm] (a_{6k+1}). [/mm] Überleg mal, wo die Häufungspunkte liegen. Es gibt genau k+1 davon.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
Sind die Häufungspunkte bei
[mm] d_{n} [/mm] := [mm] a_{2kn+1} [/mm] = [mm] \cos((2kn+1)\cdot{}\frac{\pi }{k}) =\cos(2n\pi+\frac{\pi }{k}) [/mm]
?
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Hall nochmal,
> Sind die Häufungspunkte bei
>
> [mm]d_{n}[/mm] := [mm]a_{2kn+1}[/mm] = [mm]\cos((2kn+1)\cdot{}\frac{\pi }{k}) =\cos(2n\pi+\frac{\pi }{k})[/mm]
>
> ?
Das ist nur ein Häufungspunkt, aber immerhin ein anderer.
Schau Dir mal [mm] \cos{\left((2kn+a)*\\bruch{\pi}{k}\right)} [/mm] für [mm] a\in\IN, [/mm] 1<a<k und für k<a<2k an.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 12.05.2011 | | Autor: | Lesbia |
> Schau Dir mal [mm]\cos{((2kn+a)*\bruch{\pi}{k}}))[/mm]
> für [mm]a\in\IN,[/mm] 1<a<k und für k<a<2k an.
[mm] \cos{(2n*\pi+a*\bruch{\pi}{k}}) [/mm] geht fuer 1<a<k gegen -1 und fuer k<a<2k gegen 1. Stimmt das? Meine Frage ist aber nun wie du auf diesen Wert kommst. Die Funktion hat doch unendlich viele Haufungspunkte oder?
Danke
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Hallo Lesbia,
> > Schau Dir mal [mm]\cos{((2kn+a)*\bruch{\pi}{k}}))[/mm]
> > für [mm]a\in\IN,[/mm] 1<a<k und="" für="" k<a<2k="" an.<br="">>
> [mm]\cos{(2n*\pi+a*\bruch{\pi}{k}})[/mm] geht fuer 1<a<k gegen="" -1="" <br="">> und fuer k<a<2k gegen="" 1.="" stimmt="" das?="" meine="" frage="" ist="" aber="" <br="">> nun wie du auf diesen Wert kommst.
Hm. Da stimmt was mit der Zitatfunktion nicht.
Naja, wir wissen ja, wies vorher aussah.
Deine Rechnung stimmt jedenfalls überhaupt nicht.
Setz doch mal k=5 ein und rechne nach für a=1,2,3,4,6,7,8,9 und meinetwegen gleich für a=5 und a=10 noch dazu.
> Die Funktion hat doch
> unendlich viele Haufungspunkte oder?
Nein, hat sie nicht. Wie ich schon schrieb, hat sie genau k+1 Häufungspunkte.
> Danke
Grüße
reverend
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> Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge [mm]a_{n}[/mm] :=
> [mm]cos(n*\frac{\pi}{k}[/mm] ) mit [mm]k\in \mathbb[/mm] N
> Leider finde ich überhaupt keinen Ansatz. Womit sollte
> ich anfangen? Ein Häufungspunkt ist ja Grenzwert einer
> Teilfolge. Der Kosinus nimmt ja abwechselnd Werte zwischen
> 1 und -1 an. Das müssten dann auch die Häufungspunkte
> sein, aber wie komme ich rechnerisch darauf?
Mach dir klar, dass die Folge periodisch ist und jeden
Wert, den sie überhaupt annimmt, unendlich oft annimmt.
Ferner sind dies jeweils (für ein bestimmtes k) nur endlich
viele diskrete Werte. Deshalb kommen keine anderen
Werte als Häufungspunkte in Frage.
LG Al-Chw.
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