Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen sie sämtliche Häufungspunkte der folgenden reellen bzw komplexen Folgen (an) sowei jeweils eine dagegen konvergierende Teilfolge. Geben sie, sofern diese existieren, auch lim inf (an) und lim sup (an) an (mit n-->unendlich) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem ist zunächst, dass ich nicht weis wie man Häufungspunkte bestimmt! Ich hab schon in Büchern nachgeschaut aber konnte mir auch nicht weiterhelfen!
Desweiteren weis ich nicht, wei man Teilfolgen aus einer Folge angibt, d.h. woher ich die "nehmen" soll! kann amn die irgendwie berechnen oder kann man die auch irgendwie ablesen?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mo 08.01.2007 | | Autor: | KaiTracid |
Hab natürlich die Folgen vergessen gehabt!
a) an = sin ((n*pi)/4)+1/n²
b) an= (1+((-1) hoch n/2n))hoch 3n
c) an = i hoch n
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Di 09.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (-1)^n [/mm] hat 2 HP 1 und -1 denn in jeder "Umgebung" von -1 und +1 liegen unendlich viele Folgenglieder.
i(n) hat 4 HP die kannst du selbst finden.
zu b) welche Werte nimmt der sin an wenn n läuft? 1,0,-1
und [mm] 1/n^2 [/mm] geht gegen 1. also solltest du 3HPfinden.
Eine Teilfolge von [mm] (-1)^n [/mm] ist [mm] (-1)^{2n} [/mm] es konvergiert gegen 1 und hat nur einen HP.
mach das entsprechende mit den anderen Folgen .
c) ist mangels Formeleditor unlesbar.
Aber du weisst ja jetzt was du sollst. Die Def. von lim inf kannst du überall nachlesen.
Gruss leduart
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Wie kommt man den bei [mm] i^n [/mm] auf 4 HP? ich bekomm nur 2 heraus und zwar 1 und -1?! Wäre eine Teilfolge davon dann i^2n?!
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> Wie kommt man den bei [mm]i^n[/mm] auf 4 HP? ich bekomm nur 2 heraus
> und zwar 1 und -1?! Wäre eine Teilfolge davon dann i^2n?!
Hallo,
mit Sicherheit ist [mm] i^{2n} [/mm] eine Teilfolge von [mm] i^n, [/mm] das steht völlig außer Frage - ob es eine konvergente Teilfolge von [mm] i^n [/mm] ist, kannst Du Dir selbst leicht beantworten, wenn Du [mm] i^0,i^2,i^4,i^6,i^8,i^{10} [/mm] berechnest...
Ein Tip zu den vier Häufungspunkten:
schreib Dir doch wirklich mal die ersten 15 Glieder der Folge [mm] i^n [/mm] auf. Dann wirst Du schon sehen...
Gruß v. Angela
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also wenn ich die ersten paar folgengleider aufschreibe...
wären dann die 4 HP: 1, -1, i, -1
hab ich die jetzt richtig?
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yeeeeeeessssss
denn die Werte wiederholen sich immer wieder zyklisch
Gruß
schachuzipus
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ok! danke!
hab dann aber noch ein weiteres Problem mit der Folge:
[mm] (1+((-1)^n/2n))^3n
[/mm]
weil wenn ich da folgenglieder berechne, kommen komische kommazahlen raus...
oder wie macht man des dann da?
danke!
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> ok! danke!
>
> hab dann aber noch ein weiteres Problem mit der Folge:
>
> [mm](1+\bruch{(-1)^n}{2n})^{3n}[/mm]
>
> weil wenn ich da folgenglieder berechne, kommen komische
> kommazahlen raus...
> oder wie macht man des dann da?
Hallo,
man überlegt erstmal - obgleich Dezimalzahlen ja nichts prinzipiell Schlechtes sind, und man kann gut ihr Wachsen oder Fallen beobachten.
Was ist denn der Knackpunkt bei dieser Folge? Das [mm] (-1)^n.
[/mm]
Da würde ich mir mal die "gerade" Teifolge und die ungerade. Wogegen konvergieren die?
Gruß v. Angela
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die Gerade Teilfolge, also (-1)^2n konvergiert gegen 1 und die ungerade Teilfolge konvergiert,(-1)^2n+1, gegen -1.
Das hatte ich mir auch überlegt nur wie es dann weitergeht weis ich nicht! Weil jenachdem ob positiv oder negativ wird ja zu der 1 was dazu addiert oder subtrahiert!
aber wie genau erhält man die dann?
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> die Gerade Teilfolge, also (-1)^2n konvergiert gegen 1 und
> die ungerade Teilfolge konvergiert,(-1)^2n+1, gegen -1.
>
> Das hatte ich mir auch überlegt nur wie es dann weitergeht
> weis ich nicht! Weil jenachdem ob positiv oder negativ wird
> ja zu der 1 was dazu addiert oder subtrahiert!
Ja, die Teilfolgen unterscheiden sich.
Nun schreib doch einfach mal
n gerade: dann lautet die Folge ...
n ungerade: dann lautet die Folge ...
Die Frage ist nun, was diese (Teil-)Folgen für n gegen [mm] \infty [/mm] tun.
Gruß v. Angela
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Ja, die Teilfolgen unterscheiden sich.
Nun schreib doch einfach mal
n gerade: n=2 -> [mm] (5/4)^6
[/mm]
n=4 -> (9/8)^12
n ungerade: n=1 -> [mm] (1/2)^3
[/mm]
n=3 -> [mm] (5/6)^9
[/mm]
für n -> [mm] \infty [/mm] geht doch dann die Folge gegen 0
Oder lieg ich da falsch?
Komm grad irgendwie nicht weiter...
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noch eine Frage zu dem Beitrag von Leduart:
da wurde geschrieben dass [mm] 1/n^2 [/mm] gegen 1 geht!
geht das nicht gegen 0?
danke
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> noch eine Frage zu dem Beitrag von Leduart:
>
> da wurde geschrieben dass [mm]1/n^2[/mm] gegen 1 geht!
> geht das nicht gegen 0?
Ein Flüchtigkeitsfehler!
Wie sollte dise Folge gegen 1 gehen?
Gruß v. Angela
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wir haben mal kurz darüber geredet, aber verstanden hab ich des auch noch nicht!
Also 1-(1/2n)^3n geht doch gegen 0
und 1+(1/2n)^3n geht doch gegen unendlich oder?!
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> Also 1-(1/2n)^3n geht doch gegen 0
> und 1+(1/2n)^3n geht doch gegen unendlich oder?!
Hallo,
daß beides nicht so ist, kannst Du mit dem Taschenrechner ausprobieren - ohne Beweiskraft. (Ich bin auch zunächst in diese Falle getappt, und habe meine Antwort schnell editiert...)
Es geht [mm] (1+\bruch{x}{n})^n [/mm] gegen [mm] e^x, [/mm] das habt Ihr bestimmt irgendwo aufgeschrieben.
Gruß v. Angela
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Also ich habe mir des jetzt dazu mal durchgelesen im Buch!
Also [mm] (1+(p/n))^n [/mm] geht für p=1 gegen e
jetzt haben wir hier ja beides mal oben im Bruch eine 1 stehen, d.h. beide Folgen gehen gegen e!
D.h. die ganze Folge geht gegen e!
Ist das so richtig?
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> Also ich habe mir des jetzt dazu mal durchgelesen im Buch!
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> Also [mm](1+(p/n))^n[/mm] geht für p=1 gegen e
>
> jetzt haben wir hier ja beides mal oben im Bruch eine 1
> stehen, d.h. beide Folgen gehen gegen e!
>
> D.h. die ganze Folge geht gegen e!
Du übersiehst Details. In Deinem Bruch steht unten 2n.
Und er ist "hoch 3n"
Gruß v. Angela
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ich komm irgendwie nicht drauf, wie ich die 2n und die 3n da mit einbeziehen soll?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Di 09.01.2007 | | Autor: | Nansen |
Guten Abend!
Der Grenzwert ist nicht wirklich offensichtlich, wenn man eine allgemeine Formel entbehren muss. Ich gebe Dir diese mal an:
Seien dazu Koeffizienten [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] ungleich Null(!) aus [mm] \IR [/mm] gewählt, dann gilt für
[mm] x_n [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{\lambda n})^{\mu n} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] e^{\bruch{\mu}{\lambda}}
[/mm]
und für
[mm] a_n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{\lambda n})^{\mu n} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] e^{\bruch{-\mu}{\lambda}}
[/mm]
Sofern Du aber diese Eigenschaften nicht verwenden darfst, weil sie in der Vorlesung nicht vorgekommen sind, dann musst Du sie herleiten.
Wende die Formel auf Deine Reihe an. Dann wirst Du sehen, dass die Folge als Gesamtes zwei verschiedene Häufungspunkte hat, also divergiert.
Viele Grüße 
Nansen
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Also wären dann die die Häufungspunkte einmal e^(3/2) und einmal e^(-3/2) ?! oder hab ich noch nen denkfehler drin?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 09.01.2007 | | Autor: | Nansen |
Auf diese Ergebnisse komme ich auch
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