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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Fr 22.10.2004 | | Autor: | math5 |
Hi, Leute!
M ist eine beliebige Teilmenge von IR .
Ich soll zeigen, dass die Menge aller Häufungspunkte von M (H(M))abgeschlossen ist. Habe aber Probleme mit dem Begriff "Haüfungspunkt " an sich. Kann deshalb mit der Frage fast gar nichts anfangen und würde Euch sehr dankbar sein , wenn Ihr mir hilft.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo math5!
Also, eigentlich habe ich von Häufungspunkten auch nicht so viel Ahnung, aber da ich es mal verstanden hatte, habe ich mal gerade nachgeguckt, was es nochmal genau bedeutet, und ich glaube, es ist gar nicht so schwierig. Hier mal die Definition (aus wikipedia.de):
"Definition
Sei a Element aus einer Teilmenge M eines topologischen Raumes X. Man sagt a ist Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von a ein Punkt von M liegt, der von a verschieden ist. "
Keine Angst - nach dieser Erklärung habe ich es auch nicht wirklich verstanden :-(, aber es folgt noch ein Beispiel  :
"Sei M := ]0,1] ∪ {3} eine Teilmenge der reellen Zahlen. M besteht also aus einem links halboffenen Intervall und einem einzelnen Punkt.
Dann sind alle Elemente von M außer der "3" Häufungspunkte von M. Es ist nämlich [2,4] eine Umgebung von "3", die keinen weiteren Punkt aus M enthält."
Also, Umgebung ist wohl (beispielsweise) ein Intervall.
"Zusätzlich ist auch die Null Häufungspunkt von M. Jede Umgebung eines Punktes enthält nämlich die "direkt links" und "direkt rechts" des Punktes gelegenen Punkte. Da das Intervall links offen ist, liegen die Punkte im Intervall beliebig nahe an der Null. Somit muss jede Umgebung von Null auch einen Punkt des Intervalls enthalten.
Aus gleichem Grund ist auch die "1" Häufungspunkt von M."
Dies ist wohl nur ein Zusatz, falls du es nicht verstehen solltest, ist es wahrscheinlich nicht ganz so schlimm...
Viele Grüße, und frag', falls noch was unklar ist - vielleicht lerne ich dann auch noch was...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Fr 22.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich nehme mal an, dass ihr abgeschlossen definiert habt, in dem ihr gesagt habt dass komplement sei offen und ein offene menge folgendermaßen definiert habt: [m] A \subset \mathbb{R} [/m] ist offen, wenn es für jedes [m] x \in A [/m] ein [m] \varepsilon > 0 [/m] gibt, so dass [m] B_\varepsilon(x) = \{ y \in \mathbb{R} : | x - y | < \varepsilon \} \subset A [/m]. stimmen diesen annahmen?
um zu zeigen, dass die menge der häufungspunkt abgeschlossen ist, musst du also zeigen, dass deren komplement offen ist, also dass du um jeden punkt der kein häufungspunkt ist, eine epsilonumgebung legen kannst, in der sich kein häufungspunkt von [m]A[/m] befindet.
sei also [m] x \not\in H(A) [/m]. dann gibt es [m] \varepsilon > 0 [/m], so dass [m] ( \star) : A \cap U_\varepsilon(x) \subset \{x\} [/m] (sonst wäre [m] x [/m] häufungspunkt von [m]A[/m]. nun betrachte einen beliebigen punkt in [m] U_\varepsilon(x) [/m] und zeige, dass sich in einer kleinen umgebung (die du immer als teilmenge von [m] U_\varepsilon(x) [/m] wählen kannst) kein häufungspunkt von [m]A[/m] befindet.
das kann man ganz einfach durch widerspruch machen: wäre nämlich ein häufungspunkt in dieser umgebung, so wäre auch ein elemnet von [m] A [/m] in dieser umgebung (da der punkt sonst kein häufungspunkt wäre), was aber zu einem wiederspruch zu [m] ( \star) [/m] führt.
sorry, wenn das jetzt etwas chaotisch ist, aber mach dir mal gedanken darüber und wenn du etwas nicht verstehst melde dich nochmal.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Fr 22.10.2004 | | Autor: | math5 |
Danke, Leute!!! Ich habe jetzt alles verstanden. Ist eigentlich nicht so schwer, wie ich am Anfang gedacht habe!
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