Häufungspunkt reeller Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei a: [mm] \IN ->\IQ [/mm] surjektiv. Beweisen sie, dass jedes x [mm] \varepsilon \IR [/mm] Häufungspunkt der reellen Folge a ist. |
Ich weiß was ein Häufungspunkt ist und ich kenn auch die Definition dazu und weiß auch was sie bedeutet. Ich weiß aber nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Kann mir da bitte jemand helfen?
Schon mal vielen Dank in voraus
Chrissi
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surjektiv: in der Bildmenge ist jedes [mm] s\in\IQ [/mm] vorhanden, und mindestens einmal Folgenwert. Dieser Satz dient nur der Verdeutlichung; angegeben ist ja, dass [mm] \IN [/mm] auf ganz [mm] \IQ [/mm] abgebildet wird.
Zu zeigen ist also nur noch: in jeder noch so kleinen Umgebung eines [mm] x\in\IR [/mm] liegen unendlich viele [mm] s\in\IQ.
[/mm]
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Was zu zeigen ist ist mir klar; ich weiß dass sich um alle x [mm] \varepsilon \IR [/mm] Elemente von [mm] \IQ [/mm] befinden müssen, die sich um den Punkt scharen aber wie zeige ich so etwas?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du hast eine Folge [mm] a_n, [/mm] welche surjektiv auf [mm] \IQ [/mm] abbildet.
Du sollst zeigen, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge ist.
Das heisst, wenn du ein bel. [mm]x_0 \in \IR[/mm] vorgegeben hast, musst du eine Teilfolge von [mm] a_n [/mm] konstruieren, welche gegen dieses [mm] x_0 [/mm] konvergiert.
Jetzt stellt sich die Frage: Was darfst du alles dafür verwenden?
Hattet ihr schon in der VL, dass die rationalen Zahlen dicht liegen in den reellen?
Hattet ihr schon, dass die rationalen Zahlen dicht geordnet sind?
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Nein wir hatten in der VL noch nicht, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Dann musst du erstmal das beweisen.
Am einfachsten geht es mit der b-adischen Entwicklung von reellen Zahlen.
Falls ihr die b-adischen Zahlen noch nicht hattet, dann benutze die archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen und die Intervallschachtelung.
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kann ich dann argumentieren dass [mm] \IQ \subset \IR [/mm] ist und deshalb jedes x aus [mm] \IR [/mm] HP der reellen Folge ist.
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Nein, das wird nicht reichen.
Nimm doch mal Merles Vorschlag und konstruiere eine Folge [mm] a_n [/mm] in [mm] \IQ, [/mm] die gegen ein beliebiges [mm] x\in\IR [/mm] konvergiert. Fang mit etwas Bekanntem an, [mm] \wurzel{2} [/mm] oder [mm] \pi [/mm] oder [mm] \a{}e [/mm] oder [mm] \sin{(1)}. [/mm] Dann überlegs Dir allgemein oder meinetwegen für [mm] (\wurzel{17}+\ln{2}).
[/mm]
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ich komm nich drauf; ich hab keine Ahnung welchen Ansatz ich da mach
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 So 21.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
![[]](/images/popup.gif) Hier (Aufgabe 3) ist eine kleine Anleitung wie man zeigen kann, dass die rationalen Zahlen dicht liegen in den reellen.
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Danke hat mir geholfen;
so kam ich auf einen Ansatz und konnte die Aufgabe dann fertig stellen;
Gruß Christina
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