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Hallo,
Wikipedia sagt Folgendes zum Thema "Häufungspunkt":
"Häufungspunkt einer Folge [Bearbeiten]
Definition: [mm] b\; [/mm] heißt Häufungspunkt einer Folge [mm] a=(a_n)_{n\in\mathbb N}, [/mm] falls in jeder noch so kleinen Umgebung von [mm] b\; [/mm] unendlich viele Folgenglieder liegen [1].
(Formal: [mm] b\; [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] (a_n)\; [/mm] genau dann, wenn [mm] \forall \varepsilon>0 \; \forall N\in\mathbb{N} \; \exists [/mm] n>N: [mm] \;\left|a_n-b \right|<\varepsilon.)
[/mm]
Dies erinnert an die Eigenschaft des Grenzwerts. Allerdings kann eine Folge mehrere (auch unendlich viele) Häufungspunkte haben, zwischen denen sie in ihrem Verlauf "hin- und herspringt". Für einen Häufungspunkt reicht es aus, dass eine Teilfolge von [mm] (a_n)\; [/mm] gegen [mm] b\; [/mm] konvergiert."
Ich versteh das nicht ganz. Wie soll ich mir eine Folge mit mehr als einem Häufungspunkt vorstellen? Sobald die Folge den ersten Häufungspunkt einmal "überschreitet", kommt sie doch gar nicht mehr aus ihm heraus, denn sonst würde ja die Bedingung [mm] \left|a_n-b \right|<\varepsilon [/mm] gebrochen. Versteht ihr was ich meine?
Danke,
Martin
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Hallo Martin,
in der angegebenen Definition von Häufungswert sind die Quantoren vertauscht im Vergleich zur Def. von GW einer Folge.
Hier heißt es: zu jedem [mm] N\in\IN [/mm] gibt es ein größeres n, so dass [mm] |a_n-b|<\varepsilon
[/mm]
und nicht(!!) es gibt ein N so dass für alle n>N [mm] |a_n-b|<\varepsilon [/mm] . was die Def. von GW wäre
Man könnte es auch so formulieren [mm] $\forall\varepsilon>0\exists n_0:|a_n-h|<\varepsilon$ [/mm] für unendlich viele [mm] $n>n_0$ [/mm] [und nicht für [mm] \underline{alle}$ $n>n_0]
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Seh ich das richtig: Wenn eine Funktion f auf D im Punkt a stetig ist, dann ist a Haeufungspunkt einer Testfolge [mm] a_n [/mm] in D fuer a?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Fr 27.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hat das jetzt mit der Funktion zu tun?
zur vorigen Frage:
eine typische Folge mit 2 HP ist [mm] (-1)^n
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Fr 27.04.2007 | | Autor: | komduck |
Das maximale was man an Häufungspunkten generieren kann sind
alle Punkte:
Da [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, gibt es f : [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IQ [/mm] bijektiv
In jeder [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung um eine zahl x, liegen unendlich viele
rationale Zahlen, da in unserer Folge alle rationalen Zahlen
vorkommen befinden sich unendlich viele Folgeglieder in dieser
Umgebung.
Es gibt aber Mengen die als Häufungspunktmengen nicht möglich sind.
Sei A = {1/n | n [mm] \in \IN [/mm] } wenn nur eine Folge
diese Menge als Häufungspunkte hätte dann liegen in
einer kleinen Umgebung um die Null unendlich viele Folgeglieder
0 muß also auch Häufungspunkt sein.
komduck
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Ich hatte die ganze Sache mit dem Häufungspunkt aufgebracht, weil ich für eine Funktion zeigen sollte, dass sie auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist. Und meine Definition von Differenzierbarkeit sagt, dass eine Funktion f auf a differenzierbar ist, wenn a ein Häufungspunkt ist und der Grenzwert [mm] \bruch{f(x) - f(a)}{x - a} [/mm] existiert. Da die Funktion, um die es sich dabei handelte, eine stetige Funktion war, hatte ich überlegt, ob ich aus der Stetigkeit der Funktion folgern kann, dass jeder Wert der Funktion f ein Häufungswert ist. Ist das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Fr 27.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich hatte die ganze Sache mit dem Häufungspunkt
> aufgebracht, weil ich für eine Funktion zeigen sollte, dass
> sie auf [mm]\IR[/mm] differenzierbar ist. Und meine Definition von
> Differenzierbarkeit sagt, dass eine Funktion f auf a
> differenzierbar ist, wenn a ein Häufungspunkt ist und der
> Grenzwert [mm]\bruch{f(x) - f(a)}{x - a}[/mm] existiert.
a soll ein HP von was sein? das kann nicht deine vollst. Definition von diffbar sein! a kann ich doch immer zum HP von irgendwas machen!
Gruss leduart
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a soll offenbar ein HP der Definitionsmenge sein, d.h. f ist gar nicht über ganz [mm] \IR [/mm] definiert, sondern nur über eine (oder mehrere) Folgen, die in a einen HP haben, z.B. f(1/n)=1/n*sin(1/n) für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
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Also hier der Wortlaut aus meinen Lehrmaterialien:
"Definition (Differenzierbarkeit)
Sei a [mm] \in [/mm] D [mm] \subset \IR, [/mm] und sei f: D [mm] \to \IR [/mm] gegeben.
f heißt differenzierbar in a, wenn a Häufungspunkt von D ist und wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{x \rightarrow a}\bruch{f(x) - f(a)}{x - a} [/mm] existiert."
Und jetzt meine Frage nochmal: Wenn eine Funktion auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig ist, heißt dass dann, dass jeder Wert a [mm] \in [/mm] D Häufungspunkt von D ist?
LG,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Sa 28.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Für "normale" Defintionsmengen stimmt das wohl.
Ich sehe aber ein ganz anderes Problem:
Betrachten wir z.B. die Menge der positiven rellen Zahlen und die Zahl -1.
Dann ist nach Deiner Defintion -1 ein Häufungspunkt dieser Menge.
Aus topologischer Sicht (wenn ich mich da recht entsinne) ist -1 aber kein Häufungspunkt. Es fehlt die (beliebig kleine) offene Umgebung.
Und für die Defintion der Ableitung fehlt Dir auch genau diese.
Also ich denke, man benötigt zur Defintion der Differzierbarkeit an einer Stelle a eher die topologische Defintion eines Häufungspunkt. Die Differenzierbarkeit ist eine lokale Eigenschaft und benötigt eine entsprechende (topologische) Umgebung von a. Damit sind z.B. isolierte Punkte oder "Randpunkte" eines geschlossenen Intervalls ausgeschlossen.
Ich würde mich freuen, wenn ein Analysis-Eperte dazu Stellungnehmen könnte ...
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Hmm, die Frage, die ich mir dabei stelle ist: Ist eine Funktion
f: ]0, [mm] \infty[ \cap [/mm] -1 [mm] \to \IR
[/mm]
denn in -1 etwa stetig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Sa 28.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Ich würde sagen: "Nein!"
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Sa 28.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Dann würdest du meine eingangs gestellt Frage mit "ja" beantworten: Ist die Funktion in a [mm] \in [/mm] D [mm] \subset \IR [/mm] stetig, so ist a Häufungspunkt von D.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Sa 28.04.2007 | | Autor: | komduck |
Um den Differenzenquotienten in einem Punkt a definieren zu können
benötigen wir eine Folge von Punkten die a nicht enthält und
gegen a konvergiert. Wenn alle Folgen den gleichen
Wert liefern, dann ist die Funktion differenzierbar.
In Räumen in denen die Topologie durch Folgen definierbar ist, sind
dies genau die Häufungspunkte. In allgemeinen topologischen Räumen
bedeutet Häufungspunkt : In jeder Umgebung liegt wenigstens ein Punkt
der von a verschieden ist.
Auf isolierten Punkten ist eine Funktion immer stetig.
Das mag man nicht mögen. Es ist aber praktikabel.
komduck
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 So 29.04.2007 | | Autor: | lch |
Schau dir einfach eine periodische Funktion an, die so aussehen würde wie der Sinus: springt immer zwischen -1, 0 und 1 hin und her, kannst natürlich auch noch beliebig viele Punkte dazupacken über die mitgesprungen werden soll. Das sind dann deine Häufungspunkte und du kannst deine Umgebungen und Teilfolgen und äquivalente Definitionen von HP alle wiederfinden.
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