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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Di 22.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
Hallo,
ich habe dazwei aufgaben, bei denen ich nicht weiter komme
1) Gibt drei Ebenen durch den Ursprung an, die von P (3/ -1/ 7) den Abstand 5 haben.
--> bei jeder Ebenenform muß einmal x1 = 0; x2 = 0 und x3 = 0 sein.
und wie geh ich dann weiter vor?
2) Bestimme eine Ebene durch A (2/3/4) und B (6/5/ 16), die vom Ursprung den Abstand 2 hat.
--> hier würde ich zuerst eine HNF aufstellen mit dem Normalenvektor [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{6 \\ 5 \\ 16}, [/mm] dann X - P, aber was setzte ich für P ein ??
vielen dank im voraus!
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Hi, Sophy,
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> 1) Gibt drei Ebenen durch den Ursprung an, die von P (3/
> -1/ 7) den Abstand 5 haben.
>
> --> bei jeder Ebenenform muß einmal x1 = 0; x2 = 0 und x3 =
> 0 sein.
>
Ist diese Bedingung Voraussetzung oder ist das bereits ein Lösungsversuch von Dir?
(Weil: Nicht x1 = 0, sondern die Konstante bei x1 wird =0 gewählt! Das ist ein Riesen-Unterschied, denn x1 = 0 ist bereits als solches eine Ebene, nämlich die x2x3-Ebene!)
Also ich nehm' mal die HNF einer Ebene, bei der "das x1 fehlt" (aber: siehe oben!)
und die durch den Ursprung geht:
ax2 + bx3 = 0.
Da es die HNF sein soll, muss schon mal [mm] a^{2}+b^{2}=1 [/mm] (**) sein. (Länge des Normalenvektors in der HNF!)
Nun setze ich P(3/-1/7) ein: -a + 7b = 5 (vorgegebener Abstand!)
oder: a = 7b - 5
Setze das in (**) ein und Du erhältst eine quadratische Gleichung in b. Daraus ergeben sich für b zwei mögliche Werte: b=0,8 bzw. b=0,6.
(Wie immer: Nachrechnen!)
Im ersten Fall erhält man für a = 0,6, im zweiten Fall a=-0,8.
Demnach hast Du schon zwei Ebenen gefunden, die die Voraussetzungen erfüllen:
0,6x2 + 0,8x3=0 und -0,8x2+0,6x3 =0
Analog findest Du weitere Ebenen, bei denen entweder x2 oder x3 "fehlt".
> 2) Bestimme eine Ebene durch A (2/3/4) und B (6/5/ 16), die
> vom Ursprung den Abstand 2 hat.
>
> --> hier würde ich zuerst eine HNF aufstellen mit dem
> Normalenvektor [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm] und [mm]\vektor{6 \\ 5 \\ 16},[/mm]
Nanu???!!!
Der Normalenvektor steht auf dem Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] senkrecht!
Du musst m.E. wieder mit einem allgemeinen HNF-Ansatz arbeiten,
wobei eine Konstante (d=2 bzw. d=-2) wegen des Abstandes von O "bekannt" ist:
ax1 + bx2 + cx3 + 2 = 0 und ax1 + bx2 + cx3 - 2 = 0
(Hier kannst Du Dir einen Ansatz raussuchen, denn Du sollst ja nur EINE solche Ebene bestimmen und nicht mehrere!)
Nun setzt Du A und B ein und berücksichtigst zusätzlich (analog zur 1. Aufgabe), dass die Länge des Normalenvektors =1 ist,
also [mm] letztlich:a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.
[/mm]
Diesmal rechnest Du aber selbst!
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