HDI < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Sei f [mm] \in C^{2}(\IR^{2}) [/mm] eine Funktion mit [mm] \bruch{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}=0 [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^{2}. [/mm] Zeigen Sie, dass Funktionen u, v [mm] \in C^{2} [/mm] existieren mit f(x,y)= u(x) + v(x) ((x,y) [mm] \in \IR^{2}). [/mm] |
Anschaulich ist mir die Aussage klar, aber ich habe Schwierigkeiten das ganze ordentlich zu beweisen.
Also ich hab mir folgendes überlegt:
[mm] \bruch{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})
[/mm]
Nun versuche ich den HDI anzuwenden:
[mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) dy} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{ 0 dy}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\partial f(x,b)}{\partial x}) [/mm] - [mm] \bruch{\partial f(x,a)}{\partial x}) [/mm] = 0
[mm] \gdw \integral_{c}^{d}{\bruch{\partial f(x,b)}{\partial x}) - \bruch{\partial f(x,a)}{\partial x}) dx} [/mm] = [mm] \integral_{c}^{d}{ 0 dx} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(d,b) - f(c,b) - f(d,a) + f(c,a) = 0
Irgendwie bringt mich das aber nicht weiter. Oder darf ich nicht mit bestimmten Integralen hantieren?
Für Hilfe bin ich, wie immer dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Sa 14.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei f [mm]\in C^{2}(\IR^{2})[/mm] eine Funktion mit
> [mm]\bruch{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}=0[/mm] für
> alle (x,y) [mm]\in \IR^{2}.[/mm] Zeigen Sie, dass Funktionen u, v
> [mm]\in C^{2}[/mm] existieren mit f(x,y)= u(x) + v(x) ((x,y) [mm]\in \IR^{2}).[/mm]
>
> Anschaulich ist mir die Aussage klar, aber ich habe
> Schwierigkeiten das ganze ordentlich zu beweisen.
> Also ich hab mir folgendes überlegt:
>
> [mm]\bruch{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})[/mm]
>
> Nun versuche ich den HDI anzuwenden:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{b}{ 0 dy}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{\partial f(x,b)}{\partial x})[/mm]
> - [mm]\bruch{\partial f(x,a)}{\partial x})[/mm] = 0
> [mm]\gdw \integral_{c}^{d}{\bruch{\partial f(x,b)}{\partial x}) - \bruch{\partial f(x,a)}{\partial x}) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{c}^{d}{ 0 dx}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] f(d,b) - f(c,b) - f(d,a) + f(c,a) = 0
>
> Irgendwie bringt mich das aber nicht weiter.
Du bist fertig: vielleicht stimmst du mir zu, wenn du $x$ und $y$ statt $d$ und $b$ schreiben wuerdest.
> Oder darf ich
> nicht mit bestimmten Integralen hantieren?
Das muss dein Arzt bzw. Seelsorger entscheiden.
>
> Für Hilfe bin ich, wie immer dankbar.
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Achso, ich glaube jetzt ist es mir klar geworden. Stimmt das so:
[mm] \integral_{0}^{y}{ \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{y}{ 0 dy} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) [/mm] - [mm] \bruch{\partial f(x,0)}{\partial x}) [/mm] = 0
[mm] \gdw \integral_{0}^{x}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) - \bruch{\partial f(x,0)}{\partial x}) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{ 0 dx} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(x,y) - f(0,y) - f(x,0) + f(0,0) = 0
Mit f(x,0) := u(x) und f(0,y) := v(y) und f(0,0) = 0 folgt die Behauptung.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Achso, ich glaube jetzt ist es mir klar geworden. Stimmt
> das so:
>
> [mm]\integral_{0}^{y}{ \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{y}{ 0 dy}[/mm]
Hier gehts schon in die Hose !
y als Integrationsvariable und(!) als Integrationsgrenze ??!
> [mm]\gdw \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})[/mm] -
> [mm]\bruch{\partial f(x,0)}{\partial x})[/mm] = 0
> [mm]\gdw \integral_{0}^{x}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) - \bruch{\partial f(x,0)}{\partial x}) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{x}{ 0 dx}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] f(x,y) - f(0,y) - f(x,0) + f(0,0) = 0
>
> Mit f(x,0) := u(x) und f(0,y) := v(y) und f(0,0) = 0 folgt
> die Behauptung.
>
> Stimmt das so?
Deine Idde ist in Ordnung, nur die korrekte Umsetzung ist noch verbesserungsbedürftig.
Auch f(0,0) gefällt mir nicht.
Leistet f das gewünschte, so auch f+17.
>
Einfacher gehts so:
Aus [mm] \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})=0 [/mm] folgt:
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] hängt nur von x ab, also ist mit einer differenzierbaren Funktion h:
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=h(x) [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Sa 14.06.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Achso, ich glaube jetzt ist es mir klar geworden. Stimmt
> > das so:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{y}{ \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) dy}[/mm]
> > = [mm]\integral_{0}^{y}{ 0 dy}[/mm]
>
> Hier gehts schon in die Hose !
>
> y als Integrationsvariable und(!) als Integrationsgrenze
> ??!
>
>
> > [mm]\gdw \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})[/mm] -
> > [mm]\bruch{\partial f(x,0)}{\partial x})[/mm] = 0
> > [mm]\gdw \integral_{0}^{x}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) - \bruch{\partial f(x,0)}{\partial x}) dx}[/mm]
> > = [mm]\integral_{0}^{x}{ 0 dx}[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] f(x,y) - f(0,y) - f(x,0) + f(0,0) = 0
> >
> > Mit f(x,0) := u(x) und f(0,y) := v(y) und f(0,0) = 0 folgt
> > die Behauptung.
> >
> > Stimmt das so?
>
> Deine Idde ist in Ordnung, nur die korrekte Umsetzung ist
> noch verbesserungsbedürftig.
>
> Auch f(0,0) gefällt mir nicht.
>
> Leistet f das gewünschte, so auch f+17.
> >
>
>
> Einfacher gehts so:
>
> Aus [mm]\bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})=0[/mm]
> folgt:
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}[/mm] hängt nur von x ab,
> also ist mit einer differenzierbaren Funktion h:
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=h(x)[/mm] für alle (x,y)
> [mm]\in \IR^2[/mm]
>
> Jetzt Du.
Also wenn die Ableitungen vertauschbar sind könnte ich schreiben, dass aus:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y})=0 [/mm] folgt, dass [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] nur von y abhängt und somit g(x)= [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] für alle (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] Aber ich hab doch keine Informationen über die Stetigkeit der partiellen Ableitungen.
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 So 15.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Achso, ich glaube jetzt ist es mir klar geworden. Stimmt
> > > das so:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{y}{ \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) dy}[/mm]
> > > = [mm]\integral_{0}^{y}{ 0 dy}[/mm]
> >
> > Hier gehts schon in die Hose !
> >
> > y als Integrationsvariable und(!) als Integrationsgrenze
> > ??!
> >
> >
> > > [mm]\gdw \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})[/mm] -
> > > [mm]\bruch{\partial f(x,0)}{\partial x})[/mm] = 0
> > > [mm]\gdw \integral_{0}^{x}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) - \bruch{\partial f(x,0)}{\partial x}) dx}[/mm]
> > > = [mm]\integral_{0}^{x}{ 0 dx}[/mm]
> > > [mm]\gdw[/mm] f(x,y) - f(0,y) - f(x,0) + f(0,0) = 0
> > >
> > > Mit f(x,0) := u(x) und f(0,y) := v(y) und f(0,0) = 0 folgt
> > > die Behauptung.
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Deine Idde ist in Ordnung, nur die korrekte Umsetzung ist
> > noch verbesserungsbedürftig.
> >
> > Auch f(0,0) gefällt mir nicht.
> >
> > Leistet f das gewünschte, so auch f+17.
> > >
> >
> >
> > Einfacher gehts so:
> >
> > Aus [mm]\bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})=0[/mm]
> > folgt:
> >
> > [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}[/mm] hängt nur von x ab,
> > also ist mit einer differenzierbaren Funktion h:
> >
> > [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=h(x)[/mm] für alle (x,y)
> > [mm]\in \IR^2[/mm]
> >
> > Jetzt Du.
>
> Also wenn die Ableitungen vertauschbar sind könnte ich
> schreiben, dass aus:
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y})=0[/mm]
> folgt, dass [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm] nur von y
> abhängt und somit g(x)= [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm]
> für alle (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
Du meinst sicher
g(y)= [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm] für alle (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> Aber ich hab doch keine
> Informationen über die Stetigkeit der partiellen
> Ableitungen.
Doch. Vorausgesetzt ist doch f $ [mm] \in C^{2}(\IR^{2}) [/mm] $
>
> >
> > FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 15.06.2014 | | Autor: | Calculu |
> > > > Achso, ich glaube jetzt ist es mir klar geworden. Stimmt
> > > > das so:
> > > >
> > > > [mm]\integral_{0}^{y}{ \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) dy}[/mm]
> > > > = [mm]\integral_{0}^{y}{ 0 dy}[/mm]
> > >
> > > Hier gehts schon in die Hose !
> > >
> > > y als Integrationsvariable und(!) als Integrationsgrenze
> > > ??!
> > >
> > >
> > > > [mm]\gdw \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})[/mm] -
> > > > [mm]\bruch{\partial f(x,0)}{\partial x})[/mm] = 0
> > > > [mm]\gdw \integral_{0}^{x}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) - \bruch{\partial f(x,0)}{\partial x}) dx}[/mm]
> > > > = [mm]\integral_{0}^{x}{ 0 dx}[/mm]
> > > > [mm]\gdw[/mm] f(x,y) - f(0,y) - f(x,0) + f(0,0) = 0
> > > >
> > > > Mit f(x,0) := u(x) und f(0,y) := v(y) und f(0,0) = 0 folgt
> > > > die Behauptung.
> > > >
> > > > Stimmt das so?
> > >
> > > Deine Idde ist in Ordnung, nur die korrekte Umsetzung ist
> > > noch verbesserungsbedürftig.
> > >
> > > Auch f(0,0) gefällt mir nicht.
> > >
> > > Leistet f das gewünschte, so auch f+17.
> > > >
> > >
> > >
> > > Einfacher gehts so:
> > >
> > > Aus [mm]\bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})=0[/mm]
> > > folgt:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}[/mm] hängt nur von x ab,
> > > also ist mit einer differenzierbaren Funktion h:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=h(x)[/mm] für alle (x,y)
> > > [mm]\in \IR^2[/mm]
> > >
> > > Jetzt Du.
> >
> > Also wenn die Ableitungen vertauschbar sind könnte ich
> > schreiben, dass aus:
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial x} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y})=0[/mm]
> > folgt, dass [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm] nur von y
> > abhängt und somit g(x)= [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm]
> > für alle (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
>
> Du meinst sicher
>
>
> g(y)= [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm] für alle (x,y)
> [mm]\in \IR^{2}[/mm]
Ja, genau.
>
>
> > Aber ich hab doch keine
> > Informationen über die Stetigkeit der partiellen
> > Ableitungen.
>
>
> Doch. Vorausgesetzt ist doch f [mm]\in C^{2}(\IR^{2})[/mm]
Ja, stimmt. Das hatte ich übersehen.
Also muss ich dann so weiter machen:
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] = h(x)
[mm] \gdw \integral_{}^{}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{h(x) dx}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(x,y) = H(x) + c
Weiter gilt:
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] = g(y)
[mm] \gdw \integral_{}^{}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{g(y) dy}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(x,y) = G(y) +c
Somit ist f(x,y) = H(x) + G(y) + c
Macht das Sinn?
> > >
> > > FRED
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:11 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Achso, ich glaube jetzt ist es mir klar geworden. Stimmt
> > > > > das so:
> > > > >
> > > > > [mm]\integral_{0}^{y}{ \bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) dy}[/mm]
> > > > > = [mm]\integral_{0}^{y}{ 0 dy}[/mm]
> > > >
> > > > Hier gehts schon in die Hose !
> > > >
> > > > y als Integrationsvariable und(!) als Integrationsgrenze
> > > > ??!
> > > >
> > > >
> > > > > [mm]\gdw \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})[/mm] -
> > > > > [mm]\bruch{\partial f(x,0)}{\partial x})[/mm] = 0
> > > > > [mm]\gdw \integral_{0}^{x}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}) - \bruch{\partial f(x,0)}{\partial x}) dx}[/mm]
> > > > > = [mm]\integral_{0}^{x}{ 0 dx}[/mm]
> > > > > [mm]\gdw[/mm] f(x,y) - f(0,y) - f(x,0) + f(0,0) = 0
> > > > >
> > > > > Mit f(x,0) := u(x) und f(0,y) := v(y) und f(0,0) = 0 folgt
> > > > > die Behauptung.
> > > > >
> > > > > Stimmt das so?
> > > >
> > > > Deine Idde ist in Ordnung, nur die korrekte Umsetzung ist
> > > > noch verbesserungsbedürftig.
> > > >
> > > > Auch f(0,0) gefällt mir nicht.
> > > >
> > > > Leistet f das gewünschte, so auch f+17.
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Einfacher gehts so:
> > > >
> > > > Aus [mm]\bruch{\partial}{\partial y} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x})=0[/mm]
> > > > folgt:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}[/mm] hängt nur von x ab,
> > > > also ist mit einer differenzierbaren Funktion h:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=h(x)[/mm] für alle (x,y)
> > > > [mm]\in \IR^2[/mm]
> > > >
> > > > Jetzt Du.
> > >
> > > Also wenn die Ableitungen vertauschbar sind könnte ich
> > > schreiben, dass aus:
> > > [mm]\bruch{\partial}{\partial x} (\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y})=0[/mm]
> > > folgt, dass [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm] nur von y
> > > abhängt und somit g(x)= [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm]
> > > für alle (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> >
> > Du meinst sicher
> >
> >
> > g(y)= [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm] für alle (x,y)
> > [mm]\in \IR^{2}[/mm]
>
> Ja, genau.
>
>
> >
> >
> > > Aber ich hab doch keine
> > > Informationen über die Stetigkeit der partiellen
> > > Ableitungen.
> >
> >
> > Doch. Vorausgesetzt ist doch f [mm]\in C^{2}(\IR^{2})[/mm]
>
>
> Ja, stimmt. Das hatte ich übersehen.
>
> Also muss ich dann so weiter machen:
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}[/mm] = h(x)
> [mm]\gdw \integral_{}^{}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{}{h(x) dx}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] f(x,y) = H(x) + c
Dieses c wird und darf von y abhängen, also
f(x,y) = H(x) + c(y)
und fertig ist der Schuh.
FRED
>
> Weiter gilt:
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm] = g(y)
> [mm]\gdw \integral_{}^{}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{}{g(y) dy}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] f(x,y) = G(y) +c
>
> Somit ist f(x,y) = H(x) + G(y) + c
>
> Macht das Sinn?
> > > >
> > > > FRED
> > >
> >
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Calculu |
Herzlichen Dank, Fred!
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