Gültigkeit einer Äquivalenz < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Do 27.12.2012 | | Autor: | Matts |
| Aufgabe | Gilt für alle Formeln A der klassischen Aussagenlogik und für alle Theorien [mm] $T_1$ [/mm] und [mm] $T_2$ [/mm] die folgende Äquivalenz?
[mm] $T_1 \cap T_2 [/mm] |= A [mm] \Leftrightarrow T_1|=A \wedge T_2 [/mm] |= A $ |
Guten Abend
Mhm ich weiss nicht recht, wie ich es angehen muss. Aber ich vermute, dass die Aussage nicht stimmt und [mm] $T_1\subseteq T_2$ [/mm] anstelle von [mm] $T_1 \cap T_2 [/mm] $ stehen sollte.
Wäre dankbar, wenn mir jemand einen kleinen Hinweis geben könnte.
Danke
Matts
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Fr 28.12.2012 | | Autor: | hippias |
Es haengt davon ab, wie ihr eine Theorie definiert habt: Wie habt ihr sie definiert? Ist sie deduktiv abgeschlosssen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Matts |
Theorien wurden so eingeführt:
1) Theorien sind endliche oder unendliche Kollektionen von Formeln
2) Eine Valuation [mm] $\mathcal{V}$ [/mm] erfüllt eine Theorie, wenn wir [mm] $\hat{\mathcal{V}}(A)$ [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] T$ haben; in diesem Fall schreiben wir [mm] $\mathcal{V}\,|= [/mm] T$
3) Eine Theorie wird erfüllbar genannt, wenn eine Valuation existiert, welche T erfüllt; eine Theorie wird unerfüllbar genannt, wenn T nicht erfüllbar ist.
4) Eine Formel A ist eine logische Konsequenz von T, wenn wir [mm] $\hat{\mathcal{V}} [/mm] = t $ für alle Valuationen [mm] $\mathcal{V}$ [/mm] haben, welche T erfüllen; in diesem Fall schreiben wir [mm] $T\,|= [/mm] A$.
Des Weiteren wurde das Deduktionstheorem eingeführt:
Für alle Theorien T und alle Formeln A,B haben wir:
1) [mm] $T\cup \{A\}\, [/mm] |= B [mm] \gdw T\,|= A\rightarrow [/mm] B$
2) [mm] $T\, [/mm] |= A [mm] \,and \,T\cup {A}\, [/mm] |= B [mm] \Rightarrow T\, [/mm] |= B$
3) Wenn T eine Theorie [mm] $\{A_1, \ldots, A_n\}$, [/mm] dann [mm] $T\, [/mm] |= [mm] B\,\gdw \, [/mm] |= [mm] (A_1\wedge \ldots \wedge A_n) \rightarrow [/mm] B$
Zusatz:
[mm] $T\, [/mm] |= [mm] \, [/mm] A [mm] \gdw \, T\cup \{\neg A\} \,\, \mathrm{unerfüllbar} \,\, \mathrm{ist}$
[/mm]
Was meinst du mit deduktiv abgeschlossen?
Mattsd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 29.12.2012 | | Autor: | hippias |
Mit deduktiv abgeschlossen meine ich: Wenn [mm] $T\models [/mm] A$, dann [mm] $A\in [/mm] T$. Ist aber nicht wichtig.
Veruche doch einmal die [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Richtung der Behauptung zu beweisen.
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Hallo matts!
> Mhm ich weiss nicht recht, wie ich es angehen muss. Aber
> ich vermute, dass die Aussage nicht stimmt und [mm]T_1\subseteq T_2[/mm]
> anstelle von [mm]T_1 \cap T_2[/mm] stehen sollte.
Es scheint mir nicht sinnvoll eine Menge durch eine Teilmengenbeziehung zu ersetzen. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Es gilt aber z.B. [mm] $T_1\cap T_2 \subseteq T_1$.
[/mm]
> Wäre dankbar, wenn mir jemand einen kleinen Hinweis geben
> könnte.
Nimm Beispiele für [mm] $T_1$ [/mm] und [mm] $T_2$.
[/mm]
LG mathfunnel
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