Gruppoid < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Raz |
Hallo
ich habe mal wieder eine totale Blockade bei meinen Matheübungsaufgaben. Ich weiss noch nicht einmal wohin damit. Zu Information ich studiere Mathe auf Lehramt Grund und Mittelstufe. Und hier nun meine Aufgabe bzw. Frage.
Wir haben immer noch Gruppoide!
Nun muss ich beweisen, das jede zyklische Gruppe auch abelsch ist.
Das heist ja, das einerseits das Kommutativgesetz gelten muss a*b=b*a zudem muss die Gruppe ein ein-elementiges Erzeugersystem haben! Und da liegt mein Problem! Wie finde bzw beweise ich dieses?
Ich habe echt keine Ahnung!
Für jeden Rat bin ich dankbar
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Leni21 |
Ja dieser Erzeugersysteme. Habe sie soweit versttanden, aber wenn mir jetzt so eine Frage gestellt wird wie z.B. [mm] (\IZ_{2} \times \IZ_{2}) [/mm]
mit [mm] (a_{1},a_{2})+(b_{1}.b_{2}):=(a_{1}+_{2}b_{1}, a_{2} +_{3}b_{3}) [/mm] hab ich keine Ahnung wie ich es lösen kann genauso wie mit der Diedergruppe [mm] D_{5}!
[/mm]
Kann mir jemand erklären was ich zuverstehen habe?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Di 26.04.2005 | | Autor: | MicMuc |
[mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_2 [/mm] ist nicht zyklisch.
Alle endlichen zyklischen Gruppen sind isomorph zu [mm] Z_n.
[/mm]
In [mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_2 [/mm] gibt es aber kein Element der Ordnung 4.
Allgemein gilt [mm] Z_n [/mm] x [mm] Z_m [/mm] ist isomorph zu Z_(nm) genau dann, wenn n und m teilerfremd sind (Chinesischer Restsatz hilft beim Beweis).
Die Diedergruppe ist kann als Semidirektes Produkt (von [mm] Z_2 [/mm] und [mm] Z_n) [/mm] aufgefasst werden, ist aber eher fortgeschrittenes Niveau.
Entweder definiert man die über zwei Erzeuger und Relationen, oder als Bewegungsgruppe eines regelmässigen Vieleckes, oder als Teilgruppe der [mm] S_n [/mm] ... (hier gibt es viele Möglichkeiten)
Auf jeden Fall ist sie für n > 2 nicht zyklisch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Raz!
Ist $G$ zyklisch, so gibt es ein $a [mm] \in [/mm] G$ mit
[mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle [/mm] = G$.
Man sieht leicht ein, dass dann $G$ die folgende Form hat:
[mm] $G=\{a^i \, : \, i \in \IZ\}$.
[/mm]
Jetzt seien [mm] $x,y\in [/mm] G$ beliebig gewählt und somit von der Form
[mm] $x=a^i$ [/mm] und [mm] $y=a^j$
[/mm]
für [mm] $i,j\in\IZ$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $x\cdot [/mm] y = [mm] a^i \cdot a^j [/mm] = [mm] a^{i+j} [/mm] = [mm] \ldots$.
[/mm]
Den Rest kriegst du selber hin, oder? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Di 26.04.2005 | | Autor: | MicMuc |
Fehler liegt hier:
"Man sieht leicht ein, dass dann <a> = [mm] {a^n | n \in N} [/mm] ist"
Sauber definiert man <A> für eine Teilmene A der Gruppe G, als Durchschnitt aller Untergruppen von G, die A enthalten!
Zum Beispiel ist Z eine von der Eins zyklisch erzeugte Gruppe, aber eben unendlicher Ordnung. Durch die Eins selber erreicht überhaupt keine negativen Zahlen, sprich es fehlen die additiven Inversen!
(1+...+1) n-mal mit n aus N ist nie positiv.
Richtig ist:
"Man sieht leicht ein, dass dann <a> = [mm] {a^n | n \in Z} [/mm] ist"
Ein kleiner aber feiner Unterschied.
(Bemerkung: [mm] a^n [/mm] ist die multiplikative Schreibweise, d.h. die Gruppenoperation von G wird multiplikativ angesetzt. Additiv entspricht [mm] a^n [/mm] einfach a+...+a n-mal)
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