Gruppenwirkungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Johman |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
und der wohl vorerst letzte teil meiner fragenreihe.
eine gruppenwirkung definiert eine wirkung einer gruppe auf eine menge. mit bestimmten eigenschaften.zu jeder wirkung gibt es die bahnen auf eine menge.das ist eine äquivalenzrelation.also bilden die äquivalenzklassen wieder partitionen mit repräsentanten der wirkung.
ich habe aber keinen deut wie ich mir das vorstellen kann.
also wer könnte mir das eventuell mal verdeutlichen erklären.....danke mal wieder im vorraus...
gruss johannes
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EDIT: Asche auf mein Haupt... ich denke an die Multiplikation und schreibe Addition. Ist hiermit korrigiert. *peinlich*
Erneuter Gruß!
Ich versuche es mal mit einem Beispiel... Meine Gruppe soll die Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] sein und meine Menge der [mm] $\IR^n$. [/mm] Die Wirkung erfolgt durch Skalarmultiplikation. Man rechnet sofort nach, dass dies wirklich eine Wirkung definiert.
Gegeben nun einen Vektor $v [mm] \in \IR^n$ [/mm] (nehmen wir mal an $v [mm] \not= [/mm] 0$), was ist dann die Bahn unter der Gruppenwirkung? Antwort: das ist die Menge [mm] $\{ \lambda v : \lambda \in \IR^\times \}$, [/mm] mit anderen Worten die Gerade durch $v$ bzw. der durch $v$ aufgespannte Untervektorraum (ohne die 0).
Die Bahn das Nullvektors enthält nur ein Element: den Nullvektor selbst.
Wenn ich jetzt diese Äquivalenzrelation auf [mm] $\IR^n$ [/mm] einführe, die durch die Gruppenwirkung entsteht, dann erhalte ich als Menge von Klassen die Menge der Bahnen - also alle Ursprungsgeraden (ohne Ursprung) und die Klasse mit dem Nullvektor. Und wenn ich letztere fortlasse, erhalte ich den sogenannten projektiven Raum.
Alles klar? Die Gruppenwirkung faßt also diejenigen Elemente zusammen, die durch die Gruppenwirkung auseinander hervorgehen - die Wirkung der Gruppe ist Stauchung / Streckung von Vektoren, daher werden in diesem Fall Vektoren zusammengefaßt, die auf einer Geraden liegen.
Natürlich kann das alles beliebig kompliziert werden. Eine wichtige Wirkung in nicht-abelschen Gruppen ist die Wirkung einer Gruppe auf sich selbst durch Konjugation. Die wird Dir das ein oder andere mal begegnen, wenn Du tiefer in die Algebra eindringst. Aber nie vergessen, wenn es mal zu unübersichtlich wird: halte Dir ein einfaches Beispiel vor Augen, dann geht es meist!
Und wenn noch was unklar ist: fragen... 
Lars
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