Gruppenwirkung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Di 22.07.2008 | | Autor: | CH22 |
| Aufgabe | Sei g eine Gruppe und seien XundY zwei G Räume. Dann wir durch g((x,y))=(g(x),g(y))"eine diagonale Gruppenwirkung" von G auf [mm] X\timesY [/mm] definiert.
Zeigen sie : [mm] G_{(x,y)}=G_X\capG_Y [/mm] |
So bei dieser Aufgabe habe ich leider gar keine Ahnung wie ich da rangehen soll. Ich kann mir das nicht mal vorstellen. Wenn mir jemand helfen könnte wäre das sehr nett.
Viele liebe Grüße
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei g eine Gruppe und seien XundY zwei G Räume. Dann wir
> durch g((x,y))=(g(x),g(y))"eine diagonale Gruppenwirkung"
> von G auf [mm]X\times Y[/mm] definiert.
>
> Zeigen sie : [mm]G_{(x,y)}=G_X\cap G_Y[/mm]
>
> So bei dieser Aufgabe habe ich leider gar keine Ahnung wie
> ich da rangehen soll. Ich kann mir das nicht mal
> vorstellen. Wenn mir jemand helfen könnte wäre das sehr
> nett.
Du sollst zeigen, dass zwei Mengen gleich sind. Also, was tust du? Du nimmst ein Element aus [mm] $G_{(x,y)}$ [/mm] und zeigst, dass es auch in [mm] $G_x \cap G_y$ [/mm] liegt.
Und du nimmst ein Element, welches in [mm] $G_x \cap G_y$ [/mm] liegt, und zeigst, dass es in [mm] $G_{(x,y)}$ [/mm] liegt.
Ok?
Dazu: was bedeutet [mm] $G_x$ [/mm] ueberhaupt? Und [mm] $G_y$ [/mm] und [mm] $G_{(x,y)}$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Di 22.07.2008 | | Autor: | CH22 |
Zu deiner Frage was [mm] G_X [/mm] und soweiter bedeutet, das ist genau das Ding was mir noch nicht klar ist, also ich kanns mir nicht anschaulich vorstellen.
Kannst du das vielleicht erklären.
Wäre echt nett vielen Dak schonmal
Liebe Grüße Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris
> Zu deiner Frage was [mm]G_X[/mm] und soweiter bedeutet, das ist
> genau das Ding was mir noch nicht klar ist, also ich kanns
> mir nicht anschaulich vorstellen.
> Kannst du das vielleicht erklären.
Such doch erstmal die Definition davon in deinem Skript. Ohne Definitionen kannst du eh nicht wirklich weiterarbeiten.
Bei dieser Aufgabe brauchst du gar nicht viel zu verstehen: du brauchst nur die Definition und kannst dann ``stumpf'' die Gleichheit nachrechnen.
Aber schreib doch erstmal die Definition hin. Dann schreib ich auch was dazu was du dir darunter vorstellen kannst.
LG Felix
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> Bei dieser Aufgabe brauchst du gar nicht viel zu verstehen:
> du brauchst nur die Definition und kannst dann ''stumpf''
> die Gleichheit nachrechnen.
Von der Methode, "stumpf" zu rechnen, ohne sich um
Verständnis zu bemühen, kann ich nur sehr vehement abraten !
Dann lieber gleich in eine andere Fakultät wechseln...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Bei dieser Aufgabe brauchst du gar nicht viel zu verstehen:
> > du brauchst nur die Definition und kannst dann ''stumpf''
> > die Gleichheit nachrechnen.
>
> Von der Methode, "stumpf" zu rechnen, ohne sich um
> Verständnis zu bemühen, kann ich nur sehr vehement abraten !
> Dann lieber gleich in eine andere Fakultät wechseln...
Ganz so einfach ist das auch nicht. Prinzipiell hast du schon recht: es ist wichtig, dass man auch versteht, mit was man da herumrechnet, und bei vielen Rechnungen hilft eine konkrete Vorstellung. Allerdings gibt es in der Mathematik auch genug Stellen, wo man mit Vorstellung kein Stueck weiterkommt, sondern nur mit Rumrechnen solange bis es passt.
Bei dieser Aufgabe reicht es schon, die Definition richtig hinzuschreiben, dann steht das Ergebnis schon fast da, es fehlen nur noch 1-2 eher mechanische Schritte, fuer die man gar nichts ueber Gruppenwirkungen verstehen muss.
Das man sich zu einer Aufgabe erstmal die Definitionen heraussucht und schaut, wie weit man damit kommt, halte ich fuer selbstverstaendlich. Selbst wenn man damit sofort am Ziel ist, ist es auch eine berechtigte Frage, wie man sich das richtig vorstellen kann. Aber soweit waren wir in diesem Thread noch nicht. (Mittlerweile aber schon.)
LG Felix
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Ich habe die Aufgabenstellung genau durchgesehen, aber
keineswegs verstanden.
Ich stelle nur fest, dass da die verschiedensten Objekte
(Gruppe, Abbildung, Räume,...) alle mit [mm] g_{ROSSEN} [/mm] oder
[mm] G^{leinen} [/mm] g oder G bezeichnet werden.
Ob das eine gezielte Verwirrungstaktik ist, kann ich nicht
beurteilen, aber jedenfalls kann ich als Mathematiker, der
seinerzeit in höherer Algebra diplomiert hat, mit der Aufgabe,
so wie sie hier steht, eigentlich nichts anfangen.
Ein paar Begriffserläuterungen wären notwendig !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Di 22.07.2008 | | Autor: | CH22 |
Also ich habe mal im Skript nachgeschaut.
Und die Definition für [mm] G_X [/mm] ist folgende:
[mm] G_x :=\{g\in G|g \circ x=x\}
[/mm]
so dannn ist ja [mm] G_{(x,y)}=\{ g \in G| g \circ x=x,g \circ y=y\}
[/mm]
so wenn ich das jetzt, berechne dann weiß ich ja von der Aufgabenstellung:
g((x,y))=g(x),g(y)=x,y aber das liegt ja bestimmt nicht in [mm] G_x \cap G_y
[/mm]
Wo liegt da mein Fehler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Di 22.07.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Also ich habe mal im Skript nachgeschaut.
> Und die Definition für [mm]G_X[/mm] ist folgende:
>
> [mm]G_X:={{g\in G|g \circ x=x}}[/mm]
> so dannn ist ja [mm]G_{(X,Y)}={{ g \in G| g \circ x=x,g \circ y=y }}[/mm]
>
> so wenn ich das jetzt, berechne dann weiß ich ja von der
> Aufgabenstellung:
>
> g(x,y)=g(x),g(y)=x,y aber das liegt ja bestimmt nicht in
> [mm]G_X \capG_Y[/mm]
>
> Wo liegt da mein Fehler
Dein Fehler liegt zunächst einmal im völlig sorglosen Umgang mit dem Text. Es ist kaum etwas ähnlich lästig wie Druckfehler in Mathe-Texten. Während ein Roman halbwegs verständlich bleibt, wenn man z. B. alle Vokale wegläßt, wird ein mathematischer Text durch einen Druckfehler oft im strengen Sinne falsch.
Vielleicht ist dir das gar nicht so klar, aber ein großes X ist etwas anderes als ein kleines x. Mit g(x,y) meinst du wahrscheinlich g((x,y)), wofür du oben allerdings g [mm] \circ [/mm] (x,y) schreibst. In deinem Quelltext fehlen diverse geschweifte Klammern und Leerzeichen, weswegen sich dann typographischer Murks ergibt. Mit der Vorschau-Funktion hättest du das evtl. vermieden.
Diese Sorgfalt beim Denken und Schreiben ist für Mathe-Studenten ein Lehr- und Lernziel des ersten Semesters.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Di 22.07.2008 | | Autor: | CH22 |
So ich habe das jetzt verbessert. Sorry tut mir leid aber ich war in Eile.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also ich habe mal im Skript nachgeschaut.
> Und die Definition für [mm]G_X[/mm] ist folgende:
Das $X$ da soll ein $x$ sein.
> [mm]G_x :=\{g\in G|g \circ x=x\}[/mm]
Genau
> so dannn ist ja [mm]G_{(x,y)}=\{ g \in G| g \circ x=x,g \circ y=y\}[/mm]
Ja, und zwar weil $g (x, y) = (g x, g y)$ ist.
Erstmal nur per Definition ist [mm] $G_{(x, y)} [/mm] = [mm] \{ g \in G \mid g (x, y) = (x, y) \}$.
[/mm]
> so wenn ich das jetzt, berechne dann weiß ich ja von der
> Aufgabenstellung:
>
> g((x,y))=g(x),g(y)=x,y aber das liegt ja bestimmt nicht in
> [mm]G_x \cap G_y[/mm]
Was liegt nicht in [mm] $G_x \cap G_y$? [/mm] Das $(x, y)$? Das soll da auch gar nicht drinnenliegen. Das $g$? Warum liegt das $g$ denn nicht in [mm] $G_x \cap G_y$?
[/mm]
Schreib doch mal ganz saeuberlich auf: was hast du (und woher hast du es), was fuer Eigenschaften hat es damit, was willst du eigentlich zeigen, und warum gilt das?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Di 22.07.2008 | | Autor: | CH22 |
So ich habe jetzt mal versucht das sauber aufzuschreiben:
Also
[mm] G_{(x,y)}=\{g\in G| g((x,y))=(x,y)\}
[/mm]
wegen g((x,y))=(g(x),g(y))
[mm] G_{(x,y)}=\{g\in G| g((x,y))=(g(x),g(y))=(x,y)\}
[/mm]
so und [mm] G_x \cap G_y=\{ g\in G| g(x)=x\} \wedge \{ g \in G| g(y)=y\}.
[/mm]
und das ist ja eigentlich was ich zeigen wollte oder?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> So ich habe jetzt mal versucht das sauber aufzuschreiben:
> Also
>
> [mm]G_{(x,y)}=\{g\in G| g((x,y))=(x,y)\}[/mm]
> wegen
> g((x,y))=(g(x),g(y))
> [mm]G_{(x,y)}=\{g\in G| g((x,y))=(g(x),g(y))=(x,y)\}[/mm]
>
> so und [mm]G_x \cap G_y=\{ g\in G| g(x)=x\} \wedge \{ g \in G| g(y)=y\}.[/mm]
Das [mm] $\wedge$ [/mm] soll ein [mm] $\cap$ [/mm] sein.
> und das ist ja eigentlich was ich zeigen wollte oder?
Fuehre das ``eigentlich'' doch mal mit etwas mehr Details aus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Di 22.07.2008 | | Autor: | CH22 |
so [mm]G_x \cap G_y=\{ g\in G| g(x)=x\} \cap \{ g \in G| g(y)=y\}.[/mm][mm] =\{ g\in G| (g(x)=x und g(y)=y)\} [/mm] wegen dem Schnitt müssen beide Bedingungen erfüllt werden , quasi g(x)=x und g(y)=y das lässt sich dann umformen zu [mm] \{g \in G| (g(x),g(y))=x,y\}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Di 22.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> so [mm]G_x \cap G_y=\{ g\in G| g(x)=x\} \cap \{ g \in G| g(y)=y\}.[/mm][mm] =\{ g\in G| (g(x)=x und g(y)=y)\}[/mm]
> wegen dem Schnitt müssen beide Bedingungen erfüllt werden ,
> quasi g(x)=x und g(y)=y das lässt sich dann umformen zu [mm]\{g \in G| (g(x),g(y))=x,y\}[/mm]
Wenn du da noch Klammern um das $x, y$ setzt: ja.
So, und nun zur Interpretation.
Ein Beispiel fuer eine Gruppenwirkung ist ja die Operation von [mm] $Gl_3(\IR)$ [/mm] auf [mm] $\IR^3$, [/mm] also die Transformationen des Raumen; diese wirken auf die Punkte, indem man die Punkte durch die Transformation abbildet.
Sei jetzt $X = Y = [mm] \IR^3$ [/mm] und $x = (1, 0, 0)$ und $y = (0, 1, 0)$. Dann agiert $g [mm] \in Gl_3(\IR)$ [/mm] auf $(x, y)$ durch $g (x, y) = (g x, g y)$. Damit also $g (x, y) = (x, y)$ gilt, muss $g x = x$ und $g y = y$ gelten, also $g$ muss beide Punkte festhalten. Umgekehrt folgt aus $g x = x$ und $g y = y$ auch $g (x, y) = (x, y)$.
Also: $g$ haelt $(x, y)$ genau dann fest, wenn $g$ $x$ festhaelt und $g$ $y$ festhaelt, also wenn $g$ in [mm] $G_x \cap G_y$ [/mm] liegt. Und das ist gerade die Aussage [mm] $G_{(x, y)} [/mm] = [mm] G_x \cap G_y$.
[/mm]
In unserem Beispiel kannst du dir [mm] $G_{(x,y)}$, $G_x$ [/mm] und [mm] $G_y$ [/mm] uebrigens explizit ausrechnen. Es ist naemlich [mm] $G_x [/mm] = [mm] \biggl\{ \pmat{ 1 & a & b \\ 0 & c & d \\ 0 & e & f } \;\biggm|\; a, b \in \IR, \; \pmat{ c & d \\ e & f } \in Gl_2(\IR) \biggr\}$ [/mm] und [mm] $G_y [/mm] = [mm] \biggl\{ \pmat{ a & 0 & b \\ c & 1 & d \\ e & 0 & f } \;\biggm|\; c, d \in \IR, \; \pmat{ a & b \\ e & f } \in Gl_2(\IR) \biggr\}$.
[/mm]
Damit bekommst du sofort [mm] $G_{(x, y)} [/mm] = [mm] G_x \cap G_y [/mm] = [mm] \biggl\{ \pmat{ 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & f } \;\biggm|\; b, d, f \in \IR, \; f \neq 0 \biggr\}$ [/mm] (die Bedingung $f [mm] \neq [/mm] 0$ ist die Bedingung, dass die Determinanten der Matrizen aus den Bedingungen von [mm] $G_x$ [/mm] und [mm] $G_y$ [/mm] nicht 0 sein sollen); das sind gerade die invertierbaren $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrizen, die sowohl [mm] $\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }$ [/mm] als auch [mm] $\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }$ [/mm] festhalten, also ist dies gerade die Menge [mm] $G_{(x, y)}$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 22.07.2008 | | Autor: | CH22 |
Aha recht herzlichen Dank, hat mir echt geholfen.
Liebe Grüße Chris
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