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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
eine weitere frage, bei der ich etwas probleme habe, sie zu lösen
Es sei G = U( [mm] \IZ_6 [/mm] ) und H = U( [mm] \IZ_7 [/mm] )
(U ist die Gruppe der invertierbaren Elemente von [mm] \IZ_6 [/mm] und [mm] \IZ_7)
[/mm]
a.) bestimme die Elemente von G und H
b.) Bestimme die Ordnungen der Elemente von G und H
c.) Für alle n [mm] \in [/mm] {1,2, .. , |G [mm] \times [/mm] H -1|}:
Gib eine Untergruppe U von G [mm] \times [/mm] H mit |U| = n an, bzw. begründe, wieso es eine solche Untergruppe nicht geben kann.
zu a.)
Das ist ja nicht so wild, man muss ja nur alle Elemente aus G und H wählen, die teilerfremd zu 6 bzw. 7 sind.
Es ergibt sich für G = {1,5} und für H = {1,2,3,4,5,6}.
zu b.)
Auch das habe ich problemlos hinbekommen. Es ergibt sich als Ordnung für Elemente aus G:
Ordnung von 1 = 1
Ordnung von 5 = 2
Elemente aus H:
Ordnung von 1 = 1
Ordnung von 2 = 3
Ordnung von 3 = 6
Ordnung von 4 = 3
Ordnung von 5 = 6
Ordnung von 6 = 2
zu c.) hier komme ich nicht weiter. wie muss ich da vorgehen ?
Übrigens: Super Forum, Leute !!!
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Hallo,
> Es sei G = U( [mm]\IZ_6[/mm] ) und H = U( [mm]\IZ_7[/mm] )
> (U ist die Gruppe der invertierbaren Elemente von [mm]\IZ_6[/mm]
> und [mm]\IZ_7)[/mm]
>
> a.) bestimme die Elemente von G und H
>
> Es ergibt sich für G = {1,5} und für H = {1,2,3,4,5,6}.
Das ist richtig.
> b.) Bestimme die Ordnungen der Elemente von G und H
>
> Elemente aus G:
> Ordnung von 1 = 1
> Ordnung von 5 = 2
>
> Elemente aus H:
> Ordnung von 1 = 1
> Ordnung von 2 = 3
> Ordnung von 3 = 6
> Ordnung von 4 = 3
> Ordnung von 5 = 6
> Ordnung von 6 = 2
Das sieht auch richtig aus (habs nicht alles nachgerechnet).
> c.) Für alle [mm]n \in \{1,2, .. , |G \times H -1|\}[/mm]:
> Gib eine Untergruppe U von G [mm]\times[/mm] H mit |U| = n an, bzw.
> begründe, wieso es eine solche Untergruppe nicht geben
> kann.
>
> hier komme ich nicht weiter. wie muss ich da
> vorgehen ?
Einige Ideen für dich (ich erwarte hier noch keine Antworten von anderen Helfern):
1. Was weißt du über die Gruppe G x H? Wie sehen ihre Elemente aus, wie sieht die Verknüpfung aus, und wieviele Elemente hat diese Gruppe?
2. Kennst du den Satz von Lagrange? Der liefert die schonmal einen Haufen Zahlen n, für die es keine Untergruppe der Ordnung n geben kann.
3. Da die Gruppe G x H abelsch ist, kann man allgemein beweisen, dass zu den verbleibenden Zahlen tatsächlich Untergruppen existieren. In diesem Fall sollte man sie aber recht einfach explizit angeben können.
Gruss,
SirJective
PS: Hallo Marc, der Original-Text
> Für alle n [mm] \in [/mm] {1,2, .. , |G [mm] \times [/mm] H -1|}
wurde automatisch umgesetzt zu
> Für alle n [mm]\in[/mm] {1,2, .. , |G [mm]\times[/mm] H -1|}
was offenbar einer Syntaxprüfung nicht standhält:
> Für alle n [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1,2, .. , |G [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H -1|}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 13.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Es ist mir klar, dass die ordnung der Gruppe G [mm] \times [/mm] H 12 ist (wegen 2 x6 =12). Nach lagrange gilt dann, dass es nur Untergruppen von G [mm] \times [/mm] H geben kann, deren Ordungen Teiler vfon 12 sind, also 1, 2, 3, 4, 6.
Aber wie finde ich die denn jetzt genau ? Hier hapert es immer noch ein wenig.
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> Es ist mir klar, dass die ordnung der Gruppe G [mm]\times[/mm] H 12
> ist (wegen 2 x6 =12). Nach lagrange gilt dann, dass es nur
> Untergruppen von G [mm]\times[/mm] H geben kann, deren Ordungen
> Teiler von 12 sind, also 1, 2, 3, 4, 6.
Gut.
> Aber wie finde ich die denn jetzt genau ? Hier hapert es
> immer noch ein wenig.
Für diese Aufgabe genügt es, wenn du die Ordnungen der 12 Elemente bestimmst.
Was weißt du über den Zusammenhang zwischen der Ordnung eines Elementes und der Ordnung der von diesem Element erzeugten Untergruppe?
Für andere Gruppen kann es passieren, dass die Betrachtung der von einzelnen Elementen erzeugten Untergruppen nicht ausreicht, aber hier genügt das. :)
Gruss,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 13.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
> Für diese Aufgabe genügt es, wenn du die Ordnungen der 12 Elemente
> bestimmst.
> Was weißt du über den Zusammenhang zwischen der Ordnung eines
> Elementes und der Ordnung der von diesem Element erzeugten
> Untergruppe?
Das ist das Problem.
Was weiss man denn über den Zusammenhang zwischen der Ordnung eines Elementes und der Ordnung der von diesem Element erzeugten
Untergruppe? (Was sollte man wissen ?)
Kann mir jemand das beantworten? den Rest bekomme ich dann selber hin ...
Mukkular
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 So 13.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mukkular!
Was vermutest du denn?
Die Ordnung eines Elementes $a [mm] \in [/mm] G$ ist die kleinste natürliche Zahl $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $a^n=e$.
[/mm]
Weiterhin ist die von $a$ erzeugte Untergruppe gerade
[mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{a^k\, :\, k \in \IZ\} [/mm] = [mm] \{e,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}$.
[/mm]
(Warum?).
Und jetzt sage uns mal, wie groß [mm] $|\langle [/mm] a [mm] \rangle|$, [/mm] die Ordnung der von $a$ erzeugten Untergruppe, denn ist.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 13.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Lieber Stefan, erstmal vielen Dank für die mühe, die Du und die anderen Euch hier macht.
Leider habe ich deinen letzten Artikel nicht wirklich verstanden (ich bin offensichtlich schlicht und ergreifend zu dumm). Ich bin mir darüber im Klaren, dass die Untergruppen von G [mm] \times [/mm] H nur Teiler von 12 sein können,(wegen Lagrange), also 1,2,3,4,6
Ich kann natürlich auch alle Elemente von G [mm] \times [/mm] H aufzählen und deren Ordnung bestimmen:
G [mm] \times [/mm] H: wobei G = {1,2} und H = {1,2,3,4,5,6}
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
Ich sehe mich momentan nicht im Stande, die ordnung eines soclehn geordneten paares zu bestimmen.
Kann mir nicht jemand genau sagen, wie ich das mache ?
Ich stehe damit sonst auf dem Schlauch, müsste das aber bis heute abend noch unbedingt wissen, sonst sind morgen ganz dunkle Wolken am Horizont zu sehen...
Gruss
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> Ich kann natürlich auch alle Elemente von G [mm]\times[/mm] H
> aufzählen und deren Ordnung bestimmen:
> G [mm]\times[/mm] H: wobei G = {1,2} und H = {1,2,3,4,5,6}
>
> {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (5,1), (5,2),
> (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}
Das sind die 12 Elemente, ja.
Die Verknüpfung dieser Elemente ist folgende:
[mm](a,b) * (c,d) := (a*c, b*d)[/mm]
Die Paare werden kompontenweise verknüpft.
> Ich sehe mich momentan nicht im Stande, die ordnung eines
> soclehn geordneten paares zu bestimmen.
Wie hast du denn z.B. die Ordnung von 5 in G bestimmt?
Du bist vermutlich bei der 5 gestartet und hast solange die 5 draufmultipliziert, bis 1 herausgekommen ist.
Hier machst du es genauso:
Das neutrale Element von GxH ist (1,1) (überleg dir das nochmal selbst!).
Um nun die Ordnung von (5,2) zu bestimmen, beginnen wir mit (5,2) und multiplizieren solange (5,2) drauf, bis (1,1) herauskommt:
[mm](5,2)^1 = (5,2)[/mm]
[mm](5,2)^2 = (5,2) * (5,2) = (5*5, 2*2) = (1,4)[/mm]
[mm](5,2)^3 = (1,4) * (5,2) = (1*5, 4*2) = (5,1)[/mm]
[mm](5,2)^4 = (5,1) * (5,2) = (5*5, 1*2) = (1,2)[/mm]
[mm](5,2)^5 = (1,2) * (5,2) = (1*5, 2*2) = (5,4)[/mm]
[mm](5,2)^6 = (5,4) * (5,2) = (5*5, 4*2) = (1,1)[/mm]
Also hat (5,1) die Ordnung 6.
Kennst du die Definition der von einem Element erzeugte Untergruppe? Wenn nicht, dann schau nochmal in dein Vorlesungsskript.
Stefan hat gesagt, dass die von einem Element a erzeugte Untergruppe genau die Menge
[mm]\{ e, a, a^2, ..., a^{n-1} \}[/mm]
ist, wobei n die Ordnung von a ist, also die kleinste Zahl mit [mm]a^n=e[/mm]. Warum das so ist, ist eine andere Frage, und ich denke, die beantworten wir an anderer Stelle.
Insbesondere heißt das, dass die von a erzeugte Untergruppe genau soviele Elemente hat, wie die Ordnung von a angibt.
Z.B. ist also die von (5,2) erzeugte Untergruppe von GxH eine Untergruppe der Ordnung 6, und ihre Elemente, die Potenzen von (5,2), hab ich dir angegeben.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 13.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Danke, Sirjective
Danke, Stefan
Die Ordnung von 5 in G bestimmt habe ich natürlich genauso bestimmt. Ich habe auch schon andere Aufgaben bearbeitet (bzgl Bestimmung von Isomorphien von zyklischen Gruppen C (z.B. [mm] C_{2} \times C_{2} \approx C_{4} [/mm] )
Hatte das auch ohne Probleme hinbekommen.
BNur bei dieser Aufgabe habe ich ein Brett vor dem Kopf gehabt, obwohl das nicht so schwer ist...
Danke Euch vielmals
Gruss
und noch einen schönen abend nach NRW und Bayern
Mukkular
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