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| Aufgabe | Zeigen, Sie dass es zwei nichtisomorphe nichtabelsche Gruppen der Ordnung 20 gibt!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt |
Meine Lösung:
Nach Sylow gibt es nur eine Untergruppe der Ordnung 5, diese ist damit Normalteiler (N)
Damit die Gruppe nicht abelsch wird muss es folglich 5 Sylow-Untergruppen der Ordnung 4 geben. Sei eine davon bezeichnet mit H
Konstruktion mit dem semidirekten Produkt
1. Fall: N [mm] \cong \IZ_{5} [/mm] und H [mm] \cong \IZ_{4}
[/mm]
[mm] \gamma: \IZ_{4} \mapsto [/mm] Aut ( [mm] \IZ_{5}) \cong \IZ_{4}
[/mm]
Die Ordnung des Bild unter [mm] \gamma [/mm] muss Urbild und die Orundung der Automorphisengruppe Teilen. Daher kann das Bild die Ordunung 1, 2, oder 4 haben. Falls die Ordnung 1 wäre wäre es das direkte Produkt also nicht abelsch.
Es gibt also dieses semidirekte Produkt!!!
2. Fall: N [mm] \cong \IZ_{5} [/mm] und H [mm] \cong \IZ_{2}\times\IZ_{2} [/mm]
Analog zu Fall 1.
Auch dieses semidirekt Produkt existiert.
Wie zeigt man jetzt, dass die beien Gruppen nicht isomorph sind und wie schauen die Homomorphismen in die Automorphismengruppe genau aus?
Müssen diese injektiv sein?
Ich bin mir bei diesem semidirekten Produkt überhaupt nicht sicher wie das funktioniert und in Büchern finde ich auch eher wenig dazu!
Wäre echt dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 25.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Susanna2 |
Kann mir jemand weiterhelfen
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