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| Aufgabe | | zeige für n [mm] \ge [/mm] 3 operiert An (mit der gewöhnlichen Operation) transitiv auf {1, ..., n}. |
Was An, gewöhnliche Operation und Transitivität ist weiß ich wohl, mein Problem ist dass ich mein Wissen nicht anwenden kann.
Meine Überlegungen: An:= Kern [mm] (\varepsilon) [/mm] ist alternierende Gruppe, dh. sie besteht aus geraden Permutaionen, sie operiert, dh Abb: [mm] An\times{1, ..., n} [/mm] --> {1, ..., n} ist eine Operation wenn ex = x und a(bx) = (ab)x ist, x [mm] \in [/mm] {1, ..., n} a,b [mm] \in [/mm] An und die Operation hat nur eine Bahn (wegen Transivität) und was soll ich nun mit allem machen? Muss ich Induktion anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Fr 01.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> zeige für n [mm]\ge[/mm] 3 operiert An (mit der gewöhnlichen
> Operation) transitiv auf {1, ..., n}.
> Was An, gewöhnliche Operation und Transitivität ist weiß
> ich wohl, mein Problem ist dass ich mein Wissen nicht
> anwenden kann.
> Meine Überlegungen: An:= Kern [mm](\varepsilon)[/mm] ist
> alternierende Gruppe, dh. sie besteht aus geraden
> Permutaionen, sie operiert, dh Abb: [mm]An\times{1, ..., n}[/mm]
> --> {1, ..., n} ist eine Operation wenn ex = x und a(bx) =
> (ab)x ist, x [mm]\in[/mm] {1, ..., n} a,b [mm]\in[/mm] An und die Operation
> hat nur eine Bahn (wegen Transivität) und was soll ich nun
> mit allem machen? Muss ich Induktion anwenden?
Ich denke mal nein.
Zuerst könnte man sich mal überlegern, daß es reicht, wenn ich die 1 an jede vorgegebene Stelle kriege, weil dann das Inverse mir jede Stelle auf die 1 bringt. Durch Verkettung kriege ich dann jede Zahl überall hin.
Wenn n mindestens 4 ist und ich die 1 nach k haben will, dann nehme ich noch 2 weitere Zahlen r und s und betrachte (1 k)(r s). Das ist in [mm] A_{n} [/mm] und tut es. Jetzt bleiben noch in [mm] A_{3} [/mm] die Fälle 1 nach 2 und 1 nach 3, die ich netterweise  dir überlasse.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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