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Zeigen Sie, dass in jeder Gruppe (G, [mm] \circ [/mm] ) die Gleichung
a [mm] \circ [/mm] x = b a, b aus G
genau eine Lösung hat.
Ist es richtig, wenn ich das einfach so mache...
a b c d e f
b c d e f a
c d e f a b
d e f a b c
e f a b c d
f a b c d e
a [mm] \circ [/mm] x = b hat nur eine Lösung und zwar hier b....
In jeder Gruppentafel wird diese Gleichung nur eine Lösung haben, weil sie ja eine Gruppentafel ist.
Wie bereits gelernt haben wir die 3 Gesetze kennengelernt die eine Gruppentafel beweisen.
1) a [mm] \otimes [/mm] (b [mm] \otimes [/mm] c) = (a [mm] \otimes [/mm] b) [mm] \otimes [/mm] c
z.B. b [mm] \otimes [/mm] (d [mm] \otimes [/mm] e) = (b [mm] \otimes [/mm] d) [mm] \otimes [/mm] e
b [mm] \otimes [/mm] b = e [mm] \otimes [/mm] e
c = c
2) Existenz von Einheiten
a [mm] \otimes [/mm] e = a = e [mm] \otimes [/mm] a wobei e Einheitselement (hier bei dieser
Gruppentafel wäre es a )
3) Existenz von Inversen
a [mm] \otimes [/mm] b = e = b [mm] \otimes [/mm] a wobei e Einheitselement ( hier bei dieser
Gruppentafel wäre Einheitselement a)
Damit ist bewiesen das es sich um eine Gruppentafel handelt, eine Gruppentafel hat paarweise verschiedene Ein und Ausgänge, das bedeutet es kann nur eine Lösung für unsere Gleichung geben, weil in jeder Gruppe nur einmal jedes Element auftaucht.
Ist das alles so richtig bitte sagt mir bescheid...
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 Sa 19.11.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen,
das kannst Du nicht ganz so machen mit der Gruppentafel, denn Du weißt zwar, wie sich die Gruppenelemente dem Einselement gegenüber verhalten (nämlich unveränderlich), aber nicht, wie sie sich gegenüber den anderen Elementen verhalten. D.h. Du hast eine spezielle MÖGLICHE Gruppentafel aufgestellt, die aber auch etwas anders aussehen könnte. Eigentlich weißt Du ja über eine allgemeine Gruppe nur
1 b c d e f
1 1 b c d e f
b b
c c
d d
e e
f f
Die reslichen Felder könnten auch anders aussehen als Deine.
Du könntest es aber z.B. indirekt beweisen:
Angenommen,
a* [mm] x_{1}=b [/mm] und
a* [mm] x_{2}=b [/mm] mit [mm] x_{1} \not= x_{2}
[/mm]
Dann folgt nach Multiplikation beider Gleichungen von links mit [mm] a^{-1}:
[/mm]
[mm] x_{1}=a^{-1}b [/mm] und
[mm] x_{2}=a^{-1}b, [/mm] also
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] im Widerspruch zur Voraussetzung [mm] x_{1} \not= x_{2}
[/mm]
Beste Grüße,
djmatey
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Hy, danke für deine Antwort...
ich hab das aber noch nicht so ganz verstanden...
Also mir ist klar, dass meine Gruppentafel auch anders aussehen kann, als die wo ich gezeichnet habe...
Aber für deine 1 könnte man auch ein a nehmen oder, du hast das nur wegen dem Einselement gewählt ne?
Zu deinem Beweis....du hast das versucht sozusagen von hinten zu beweisen indem du gesagt hast [mm] x_{1} [/mm] soll ungleich [mm] x_{2} [/mm] sein.
Aber warum hast du dann beide Gleichungen mit [mm] a^{-1} [/mm] multipliziert? Und was bedeutet das für mein a auf der anderen Seite, das fällt einfach weg oder was? Quasi ist a * a^-1 = 1 , d.h. wenn ich die beiden Gleichungen durch a teilen würde hätte dies den selben effekt oder? a geteilt durch a =1 Ist das selbe oder?
Und dann noch ne Frage, könnte ich nicht einfach schon beide Gleichungen am Anfang umstellen, d.h. für [mm] x_{1} \not= x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{b}{a} [/mm]
=> [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] ist im Wiederspruch zur Voraussetzung s.o.
=> d.h. es gibt nur eine Lösung für x
Würde das so auch gehen oder hab ich da wieder was nicht beachtet?
Könnte ich das dann so mit meiner halb fertigen tafel so hinschreiben und das wäre es dann gewesen, oder was?
Bitte antworte mir, ist mir echt wichtig....will das wirklich verstehen.
Danke
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Hallo,
wenn Du eine Aussage für JEDE Gruppe beweisen möchtest,
darfst Du nicht eine spezielle nehmen und sagen: trallala, da gilt es. (D.h. sagen darfst Du es schon, aber Du hättest nicht recht.)
(Du hast eine ganz spezielle Gruppe genommen, eine zyklische Gruppe mit 6 Elementen.)
Sondern das muß ganz allgemein bewiesen werden.
Was nicht schwer ist:
Sei G eine Gruppe, a,b [mm] \in [/mm] G.
Beh. ax=b hat genau eine Lösung x [mm] \in [/mm] G.
a) Existenz: [mm] x=a^{-1} [/mm] löst die Gleichung.
b) Eindeutigkeit : sei x Lösung von
ax=b
==> [mm] a^{-1}(ax)=a^{-1}b
[/mm]
==>x= [mm] 1x=(a^{-1}a)x= a^{-1}(ax)=a^{-1}b
[/mm]
Der Kollege djmatey hat sich für einen indirekten Beweis entschieden.
Es geht davon aus, daß es zwei verschiedene Lösungen gibt und zeigt: die Lösungen sind gleich. Also kann es keine verschiedenen Lösungen geben. (Die Existenz hat er vergessen, soweit ich das sehe)
> Zu deinem Beweis....du hast das versucht sozusagen von
> hinten zu beweisen indem du gesagt hast [mm]x_{1}[/mm] soll ungleich
> [mm]x_{2}[/mm] sein.
> Aber warum hast du dann beide Gleichungen mit [mm]a^{-1}[/mm]
> multipliziert?
Weil es zum Ziel führt.
Und was bedeutet das für mein a auf der
> anderen Seite, das fällt einfach weg oder was? Quasi ist a
> * a^-1 = 1
Nicht quasi, sondern haargenauso ist es. Es ist doch [mm] a^{-1} [/mm] einfach eine Schreibweise für inverses Element von a bzgl.*
, d.h. wenn ich die beiden Gleichungen durch a
> teilen würde hätte dies den selben effekt oder? a geteilt
> durch a =1 Ist das selbe oder?
Um "teilen" zu können, müßte man in G erstmal eine Division erklären. Das ist zunächst nicht der Fall. Wir haben G mit einer Multiplikation.
>
> Und dann noch ne Frage, könnte ich nicht einfach schon
> beide Gleichungen am Anfang umstellen, d.h. für [mm]x_{1} \not= x_{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
>
> => [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] ist im Wiederspruch zur Voraussetzung
Naja, das "Teilen" haben wir ja schon abgehakt.
aber wenn Du Deinen Beweis einfach mit
[mm] x_1=a^{-1}b [/mm] und [mm] x_2=a^{-1}b [/mm] beginnen würdest, könnte man sich ja überhaupt keinen Reim drauf machen, was das soll. Die ganze Beweisidee wäre weg. Es wäre gar kein Beweis da! Es ist doch so, daß [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] angenommen Lösungern der Gleichung sind, und daraus muß man seine Schlüsse ziehen.
Dein "Beweis" ist ungefähr so:
Seien [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gleich. Dann ist [mm] x_1=x_2. [/mm] Wenig nahrhaft... (Nicht traurig sein, sowas passiert halt am Anfang!)
Gruß v. Angela
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Es tut mir leid das ich euch hier die ganze Zeit am nerven bin, aber ich versteh das glaub ich noch nicht ganz...
Also ich muss das jetzt ganz allgemein beweisen und soll keine Verknüpfungstafel hinzeichnen.
Dann schreib ich wie du diese Behauptung auf, als ax=b hat genau eine Lösung.
wenn ich wie du für [mm] x=a^{-1} [/mm] nehme, dann wäre aber doch a [mm] a^{-1}= [/mm] 1 und nicht b....
In deiner Gleichung bei der Eindeutigkeit [mm] a^{-1}(ax)=a^{-1}b [/mm] nimmst du dann die Glichung mal [mm] a^{-1} [/mm] oder was? Und weil sich a und [mm] a^{-1} [/mm] aufheben kommt dann auf der linken Seite nur x raus oder was? Dann sagst du das x das selbe ist wie [mm] (a^{-1}a)x [/mm] und drehst das noch mal um, zeigst also das das Assoziativitätsgesetz gilt und dann setzt du einfach weil ja oben in der behauptung steht das b=ax ist für (ax) ; b ein.
Kann ich das behaptete so einfach dann benutzen...oder hab ich das falsch verstanden?
Also schreib ich das dann einfach so wie du das gemacht hast da hin und dann...schreib ich noch das mit [mm] a*x_{1} [/mm] = b und
[mm] a*x_{2} [/mm] = b mit [mm] x_{1} \not= x_{2}
[/mm]
Dann multipliziere ich die 2 Gleicungen mit [mm] a^{-1} [/mm] und siehe da meine beiden Gleicungen sind Gleich, also muss [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] sein.
Wäre das dann jetzt das gewesen...wär das dann schon alles gewesen, oder hat man dann wieder was vergessen...ich versteh das einfach nicht...
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hallo shiny smile,
wir wollen doch beweisen, dass in dieser gruppe, in der man nur multiplizieren kann, zwei verschiedene elemente mit der selben zahl, und auf das gleiche ergebniss kommen, gleich sein müssen.
dass also a * [mm] x_{1} [/mm] = b und a * [mm] x_{2} [/mm] = b nur dann funktioniert, wenn [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}.
[/mm]
also sind [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] die "scheinbar" verschiedenen elemente aus der Gruppe (G, [mm] \circ), [/mm] a die zahl (in beiden fällen gleich) und b unser ergebniss (in beiden fällen gleich).
wir wissen, dass es ein inverses element der multiplikation [mm] a^{-1}gibt, [/mm] für das gilt: a * [mm] a^{-1} [/mm] = 1.
du hast recht, dass ich das selbe wie a/a, demnach ist auch [mm] a^{-1} [/mm] = 1/a, aber wir dürfen in der gruppe ja nur multiplizieren, darum benutzen wir [mm] a^{-1}.
[/mm]
wie beweisen wir nun, dass [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] gleich sein müssen, damit a * [mm] x_{1} [/mm] = b und a * [mm] x_{2} [/mm] = b gilt?
wir schreiben einfach:
a * [mm] x_{1} [/mm] = b a * [mm] x_{2} [/mm] = b
multiplizieren auf beiden seiten mit [mm] a^{-1}:
[/mm]
[mm] a^{-1} [/mm] * a * [mm] x_{1} [/mm] = [mm] b*a^{-1} [/mm] und [mm] a^{-1} [/mm] * a * [mm] x_{2} [/mm] = [mm] b*a^{-1}
[/mm]
daraus folgt ja nun, weil a * [mm] a^{-1} [/mm] = 1 :
[mm] 1*x_{1} [/mm] = [mm] b*a^{-1} 1*x_{2} [/mm] = [mm] b*a^{-1}
[/mm]
da [mm] b*a^{-1} [/mm] und [mm] b*a^{-1} [/mm] dasselbe sind, können wir die beiden Gleichungen gleich setzen (berechtigte Frage: warum nciht schon ganz am anfang? einfach weils schöner und formeller ist, einfach ausführlicher und darum besser ;) )
also:
[mm] 1*x_{1} [/mm] = [mm] 1*x_{2}
[/mm]
und das ist das selbe wie
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
was sagt uns das ergebnis nun? damit wir das selbe ergebnis (b) bei der multiplikation mit der selben zahl (a) erhalten, müssen die elemente [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] dieselben sein.
das war nun für jeden körper bewiesen, in dem es nur die multiplikation gibt, nicht für einen bestimmten mit einer bestimmten anzahl an elemeten (so wie dur mit der gruppentafel versucht hast es zu beweisen).
ich hoffe, das war nun einigermaßen verständlich ;)
liebe grüße, sveni
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