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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Talianna |
| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe der Ordnung 20. Wieviele Elemente der Ordnung 5 enthält G? Wie viele Möglichkeiten gibt es? |
Ich habe mir zu der Aufgabe folgendes überlegt, bin mir aber nicht sicher ob das richtig ist. Und mit der zweiten Frage, nach der Anzahl der Möglichkeiten, weiß ich so garnix anzufangen.
Meine Überlegung:
$20 = [mm] 2^2 [/mm] * 5$
Aus dem ersten Sylowschen Satz folgt, es gibt Untergruppen U und H mit [mm] $|U|=2^2$ [/mm] und $|H|=5$. Sei [mm] $n_5$ [/mm] die Anzahl der 5-Sylowgruppen in G. Es gilt: [mm] $n_5|5$. [/mm] Also entweder [mm] $n_5=1$ [/mm] oder [mm] $n_5=5$ [/mm] und zusätzlich [mm] $n_5-1 [/mm] |5$. Daraus folgt [mm] $n_5=1$. [/mm] Es gibt also genau eine 5-Sylowgruppe in G.
Ich hoffe jemand kann damit was anfangen.
Vielen Dank schonmal!
Grüße
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Hallo Talianna!
> Es sei G eine Gruppe der Ordnung 20. Wieviele Elemente der
> Ordnung 5 enthält G? Wie viele Möglichkeiten gibt es?
> Ich habe mir zu der Aufgabe folgendes überlegt, bin mir
> aber nicht sicher ob das richtig ist. Und mit der zweiten
> Frage, nach der Anzahl der Möglichkeiten, weiß ich so
> garnix anzufangen.
>
> Meine Überlegung:
> [mm]20 = 2^2 * 5[/mm]
> Aus dem ersten Sylowschen Satz folgt, es
> gibt Untergruppen U und H mit [mm]|U|=2^2[/mm] und [mm]|H|=5[/mm]. Sei [mm]n_5[/mm]
> die Anzahl der 5-Sylowgruppen in G. Es gilt: [mm]n_5|5[/mm].
Ja, aber nur weil sich herausstellt, dass [mm] $n_5 [/mm] = 1$ ist.
> Also
> entweder [mm]n_5=1[/mm] oder [mm]n_5=5[/mm] und zusätzlich [mm]n_5-1 |5[/mm]. Daraus
> folgt [mm]n_5=1[/mm].
Es gilt nicht [mm] $n_5 [/mm] = 5$ oder $ [mm] (n_5-1) [/mm] |5 $ sondern $ [mm] 5|(n_5-1) [/mm] $ oder
[mm] $n_5 \in \{1 + 5k| k\in \mathbb{N}\}$. [/mm]
> Es gibt also genau eine 5-Sylowgruppe in G.
weil:
Für $F,H$ Unterruppen von $G$ gilt:
$|G : [mm] (F\cap [/mm] H)| [mm] \leq [/mm] |G : [mm] F|\cdot|G [/mm] : H| $
Deshalb kann es nur eine $5$ - Sylowgruppe $P$ geben (Warum?) und diese ist somit normal (Warum?).
Also: Wieviele Elemente der Ordnung $5$ enthält $G$?
Ich nehme an, dass nach der Anzahl der Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung $20$ gefragt ist.
>
> Ich hoffe jemand kann damit was anfangen.
> Vielen Dank schonmal!
> Grüße
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Talianna |
Hallo,
erstmal danke für deine Antwort. Ich habe aber noch eine Frage dazu:
> Hallo Talianna!
>
> > Es sei G eine Gruppe der Ordnung 20. Wieviele Elemente der
> > Ordnung 5 enthält G? Wie viele Möglichkeiten gibt es?
> > Ich habe mir zu der Aufgabe folgendes überlegt, bin
> mir
> > aber nicht sicher ob das richtig ist. Und mit der zweiten
> > Frage, nach der Anzahl der Möglichkeiten, weiß ich so
> > garnix anzufangen.
> >
> > Meine Überlegung:
> > [mm]20 = 2^2 * 5[/mm]
> > Aus dem ersten Sylowschen Satz folgt,
> es
> > gibt Untergruppen U und H mit [mm]|U|=2^2[/mm] und [mm]|H|=5[/mm]. Sei [mm]n_5[/mm]
> > die Anzahl der 5-Sylowgruppen in G. Es gilt: [mm]n_5|5[/mm].
>
> Ja, aber nur weil sich herausstellt, dass [mm]n_5 = 1[/mm] ist.
>
> > Also
> > entweder [mm]n_5=1[/mm] oder [mm]n_5=5[/mm] und zusätzlich [mm]n_5-1 |5[/mm]. Daraus
> > folgt [mm]n_5=1[/mm].
>
> Es gilt nicht [mm]n_5 = 5[/mm] oder [mm](n_5-1) |5[/mm] sondern [mm]5|(n_5-1)[/mm]
> oder
>
> [mm]n_5 \in \{1 + 5k| k\in \mathbb{N}\}[/mm].
Das versteh ich nicht. Warum? Wir haben den Beweis für Gruppen der Ordnung 15 so durchgeführt und immer gesagt [mm] $n_p-1 [/mm] | p$ und daraus dann das gefolgert, was ich geschrieben hatte...
>
> > Es gibt also genau eine 5-Sylowgruppe in G.
>
> weil:
>
> Für [mm]F,H[/mm] Unterruppen von [mm]G[/mm] gilt:
>
> [mm]|G : (F\cap H)| \leq |G : F|\cdot|G : H|[/mm]
>
> Deshalb kann es nur eine [mm]5[/mm] - Sylowgruppe [mm]P[/mm] geben (Warum?)
> und diese ist somit normal (Warum?).
>
> Also: Wieviele Elemente der Ordnung [mm]5[/mm] enthält [mm]G[/mm]?
Da es nur eine 5-Sylowgruppe gibt, würde ich spontan sagen, dass G nur ein Element der Ordnung 5 enthält.
>
> Ich nehme an, dass nach der Anzahl der Isomorphieklassen
> von Gruppen der Ordnung [mm]20[/mm] gefragt ist.
Das weiß ich nicht. Die Aufgabe steht da so, wie wir sie bekommen haben.
>
> >
> > Ich hoffe jemand kann damit was anfangen.
> > Vielen Dank schonmal!
> > Grüße
> >
>
> LG mathfunnel
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Hallo Talianna,
für die Anzahl [mm] $n_5$ [/mm] der $5$-Sylowgruppen in $G$ gilt:
$5 | [mm] (n_5 [/mm] -1)$ und [mm] $n_5 [/mm] | 4 [mm] \Rightarrow n_5 [/mm] = 1$
Kommt Dir das jetzt bekannter vor? Es ist aber nicht das, was Du behauptest.
Die eine $5$-Sylowgruppe $P$ hat natürlich $5$ Element und ist somit zyklisch: $P = <a>$.
Was sagst Du zu den Ordnungen von [mm] $a^i$ [/mm] für $i [mm] \in\{0,\ldots,4\} [/mm] $?
Kann man $G$ vielleicht als Produkt zweier Gruppen schreiben: $G=VP$?
Wie kann man also ein typisches Element der Gruppe darstellen und welche Ordnungen haben diese Elemente?
Welche Gruppen kommen für $V$ in Frage?
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Talianna |
Hallo,
ja, du hast Recht. Ich hab das wohl durcheinander gebracht weil wir mal "teilt 5" und mal "ist durch 5 teilbar" geschrieben haben. Da muss man dann wohl ziemlich aufpassen, das nicht umzudrehen.
Ok, bis dahin hab ich es verstanden. Aber mir sagt das jetzt irgendwie immernoch nichts über die Anzahl der Elemente mit Ordnung 5. Was heißt das überhaupt? Wenn eine Gruppe die Ordnung 5 hat, dann heißt das doch z.B. dass nur die Zahlen 0,1,2,3,4, drin vorkommen, weil die 5 dann wieder 0 mod 5 wäre, 6 wäre 1 mod 5, usw. Aber wie kann ein bestimmtes Element eine Ordnung haben?
Irgendwie hat es da bei mir noch nicht ganz *klick* gemacht...
Danke und Grüße
Talianna
edit: Habe grad das hier bei Wikipedia gefunden, aber viel helfen tut es mir leider nicht.
Ordnung von Elementen [Bearbeiten]
Ergibt ein Element a der Gruppe, endlich viele Male n mit sich selbst verknüpft, das neutrale Element 1, d. h. gilt für ein geeignetes n: [mm] $a^n [/mm] = 1$, so nennt man das kleinste derartige n die Ordnung des Elements a. Falls kein solches n existiert, sagt man, dass a unendliche Ordnung hat. In beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mo 01.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ok, bis dahin hab ich es verstanden. Aber mir sagt das
> jetzt irgendwie immernoch nichts über die Anzahl der
> Elemente mit Ordnung 5. Was heißt das überhaupt? Wenn
> eine Gruppe die Ordnung 5 hat, dann heißt das doch z.B.
> dass nur die Zahlen 0,1,2,3,4, drin vorkommen, weil die 5
> dann wieder 0 mod 5 wäre, 6 wäre 1 mod 5, usw. Aber wie
> kann ein bestimmtes Element eine Ordnung haben?
Du solltest das möglichst nicht mit Zahlen schreiben; die Gruppe hat 5 Elemente, eins davon ist das neutrale. Wenn du die Gruppe multiplikativ schreibst, kannst du das neutrale Element mit 1 bezeichnen. Die 4 anderen sind dann z.B. [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_4.
[/mm]
Du hast im Nachklapp festgestellt, was die Ordnung eines Elementes ist. Ein Element hat Ordnung 5, wenn es eine Untergruppe der Ordnung 5 erzeugt. Da es hier nur eine Untergruppe dieser Ordnung gibt, sind [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_4 [/mm] die einzigen Kandidaten. Die 1 tut es nämlich nicht. Bleibt also noch z.z., daß es diese 4 Kandidaten auch wirklich tun. Nun, sie könnten allenfalls eine kleinere Untergr. erzeugen. Aber das kann gar nicht sein, weil eine Gruppe der Ordnung 5 überhaupt nur 2 Untergruppen hat.
> edit: Habe grad das hier bei Wikipedia gefunden, aber viel
> helfen tut es mir leider nicht.
>
> Ordnung von Elementen [Bearbeiten]
> Ergibt ein Element a der Gruppe, endlich viele Male n mit
> sich selbst verknüpft, das neutrale Element 1, d. h. gilt
> für ein geeignetes n: [mm]a^n = 1[/mm], so nennt man das kleinste
> derartige n die Ordnung des Elements a. Falls kein solches
> n existiert, sagt man, dass a unendliche Ordnung hat. In
> beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der
> Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.
Hier geht es ausschließlich um endliche Gruppen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Talianna |
Ah, alles klar, ich glaub jetzt hab ichs verstanden.
Vielen Dank!
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