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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Sa 15.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Df: sei G eine Gruppe und M eine Menge,
Die Abbildung GxM [mm] \to [/mm] M mit (g,m) [mm] \mapsto [/mm] g [mm] \* [/mm] m heißt Operation von G auf M, falls:
1. [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M: e [mm] \* [/mm] m = m, wobei e ist neutrales Element von G
2. [mm] \forall [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G, m [mm] \in [/mm] M: (g [mm] \* [/mm] h) [mm] \* [/mm] m = g [mm] \* [/mm] (h [mm] \* [/mm] m)
Df: sei GxM [mm] \to [/mm] M eine Operation von G auf M, m [mm] \in [/mm] M
Die Menge Gm = [mm] \{g \* m | g \in G \} [/mm] heißt Orbit von G durch m
Df: Die Operation von G auf M GxM [mm] \to [/mm] M heißt transitiv, falls sie nur einen Orbit besitzt. |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur letzten oben angegebenen Df.
Meiner Meinung nach bedeutet sie nichts anderes als:
GxM [mm] \to [/mm] M ist transitiv [mm] \gdw \forall [/mm] m,n [mm] \in [/mm] M: Gm = Gn bzw. [mm] \forall [/mm] m,n [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G: g [mm] \* [/mm] m = h [mm] \* [/mm] n
Allerdings gibt mein Professor in seinem Skript folgende Äquivalenz an:
GxM [mm] \to [/mm] M ist transitiv [mm] \gdw \forall [/mm] m,n [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G: g [mm] \* [/mm] m = n
DIese Äquivalenz kann ich nicht nachvollziehen. Wer kann mir weiterhelfen?
Grüße,
Patrick
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Hiho,
eure Feststellungen sind doch äquivalent, nehmen wir mal deine und formen sie ein wenig um:
> Meiner Meinung nach bedeutet sie nichts anderes als:
>
> GxM [mm]\to[/mm] M ist transitiv [mm]\gdw \forall[/mm] m,n [mm]\in[/mm] M: Gm = Gn
> bzw. [mm]\forall[/mm] m,n [mm]\in[/mm] M [mm]\exists[/mm] g,h [mm]\in[/mm] G: g [mm]\*[/mm] m = h [mm]\*[/mm] n
Operiere von recht [mm] h^{-1} [/mm] ran, da G Gruppe, existiert dieses Inverse, dann steht da:
[mm] $\forall [/mm] m,n [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G: [mm] h^{-1} \* [/mm] g [mm] \* [/mm] m = [mm] h^{-1} \* [/mm] h [mm] \* [/mm] n$
Naja, den Rest kannst du dir selbst erklären, oder? 
MFG,
Gono.
> GxM [mm]\to[/mm] M ist transitiv [mm]\gdw \forall[/mm] m,n [mm]\in[/mm] M [mm]\exists[/mm] g
> [mm]\in[/mm] G: g [mm]\*[/mm] m = n
>
> DIese Äquivalenz kann ich nicht nachvollziehen. Wer kann
> mir weiterhelfen?
>
> Grüße,
> Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 15.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | | Zeige, dass G transitiv auf dem Raum der Nebenklassen operiert. |
> Operiere von recht [mm]h^{-1}[/mm] ran, da G Gruppe, existiert
> dieses Inverse, dann steht da:
>
> [mm]\forall m,n \in M \exists g,h \in G: h^{-1} \* g \* m = h^{-1} \* h \* n[/mm]
>
> Naja, den Rest kannst du dir selbst erklären, oder?
Ja klar, [mm] h^{-1} \* [/mm] g [mm] \* [/mm] m = g' [mm] \* [/mm] m, mit g' [mm] \in [/mm] G da G abgeschlossen. Mmh, hätte ich auch selber drauf kommen können.
Habe ich das ganze jetzt soweit richtig verstanden, dass ich so leicht wie folgt zeigen kann, dass G transitiv auf dem Raum der Nebenklassen operiert?
GxG/H [mm] \to [/mm] G/H mit (g,g'H) [mm] \mapsto [/mm] gg'H
Frage: [mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] G: igH = g'H ???
sei i:= g' [mm] \* g^{-1} \Rightarrow [/mm] igH = [mm] \{ g' \* g^{-1} \* g \* h | h \in H \} [/mm] = [mm] \{ g' \* h | h \in H \} [/mm] = g'H
Kurze Korrektur bzw. Bestätigung wäre nett.
Grüße,
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Zeige, dass G transitiv auf dem Raum der Nebenklassen
> operiert.
> > Operiere von recht [mm]h^{-1}[/mm] ran, da G Gruppe, existiert
> > dieses Inverse, dann steht da:
> >
> > [mm]\forall m,n \in M \exists g,h \in G: h^{-1} \* g \* m = h^{-1} \* h \* n[/mm]
>
> >
> > Naja, den Rest kannst du dir selbst erklären, oder?
>
> Ja klar, [mm]h^{-1} \*[/mm] g [mm]\*[/mm] m = g' [mm]\*[/mm] m, mit g' [mm]\in[/mm] G da G
> abgeschlossen. Mmh, hätte ich auch selber drauf kommen
> können.
>
> Habe ich das ganze jetzt soweit richtig verstanden, dass
> ich so leicht wie folgt zeigen kann, dass G transitiv auf
> dem Raum der Nebenklassen operiert?
>
> GxG/H [mm]\to[/mm] G/H mit (g,g'H) [mm]\mapsto[/mm] gg'H
>
> Frage: [mm]\exists[/mm] i [mm]\in[/mm] G: igH = g'H ???
>
> sei i:= g' [mm]\* g^{-1} \Rightarrow[/mm] igH = [mm]\{ g' \* g^{-1} \* g \* h | h \in H \}[/mm]
> = [mm]\{ g' \* h | h \in H \}[/mm] = g'H
>
> Kurze Korrektur bzw. Bestätigung wäre nett.
>
> Grüße,
> Patrick
Jupp, genauso funktioniert die Sache!
Gruß Micha 
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