Gruppenhomomorphismus < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 17.03.2010 | | Autor: | MosDef |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist [mm] f:G\to [/mm] H ein Isomorphismus, so auch [mm] f^{-1}:H\to [/mm] G |
Wahrscheinlich ist das total einfach, ich tu mir aber trotzdem schwer...
Ich nehme an, es reicht zunächst zu sagen, dass es aufgrund der Bijektivität von f eine bijektive Umkehrabbildung [mm] f^{-1}:H\to [/mm] G gibt. Wie kann ich jetzt aber zeigen, dass diese ein Gruppenhomomorphismus ist?
Über Hilfestellung würde ich mich sehr freuen.
Grüße, MosDef
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Ist [mm]f:G\to[/mm] H ein Isomorphismus, so auch
> [mm]f^{-1}:H\to[/mm] G
G und H sollen wohl Gruppen sein
> Wahrscheinlich ist das total einfach, ich tu mir aber
> trotzdem schwer...
> Ich nehme an, es reicht zunächst zu sagen, dass es
> aufgrund der Bijektivität von f eine bijektive
> Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:H\to[/mm] G gibt.
Das ist schon mal ein Teil der Miete
> Wie kann ich jetzt aber
> zeigen, dass diese ein Gruppenhomomorphismus ist?
> Über Hilfestellung würde ich mich sehr freuen.
Die Verknüpfung in G nennen wir mal $ [mm] \circ$ [/mm] und die in H nennen wir [mm] $\star$
[/mm]
Du must zeigen: für $h, k [mm] \in [/mm] H$ gilt: [mm] $f^{-1}(h \star [/mm] k) = [mm] f^{-1}(h) \circ f^{-1}(k)$
[/mm]
FRED
>
> Grüße, MosDef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mi 17.03.2010 | | Autor: | MosDef |
Was ich zeigen muss ist mir ansich klar, nur wie?
danke übrigens für die Hilfe
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Hallo MosDef,
> Was ich zeigen muss ist mir ansich klar, nur wie?
Na, heute so unkreativ? 
Du musst benutzen, was gegeben ist, und das ist nicht viel, nur, dass $f$ ein (Gruppen-)Isomorphismus ist.
Nochmal: zu zeigen ist, dass für alle [mm] $h,k\in [/mm] H$ gilt: [mm] $f^{-1}(h\star k)=f^{-1}(h)\circ f^{-1}(k)$
[/mm]
Für [mm] $h,k\in [/mm] H$ ex. [mm] $a,b\in [/mm] G$ mit $f(a)=h, f(b)=k$
warum?
Damit [mm] $f^{-1}(h\star k)=f^{-1}(f(a)\star f(b))=\ldots$
[/mm]
Nun benutze, dass f ein Homomorphismus ist ...
>
> danke übrigens für die Hilfe
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 17.03.2010 | | Autor: | MosDef |
Die unterschiedlichen Verknüpfungen irritieren mich...
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Hallo nochmal,
> Die unterschiedlichen Verknüpfungen irritieren mich...
Nun gut, trotzdem kannst du es schematisch runterrechnen.
Wie sieht's mit deinem Ansatz aus?
Du hast alles gegeben, es sind von oben nur noch 2 Umformungen.
Was ist [mm] $f(a)\star [/mm] f(b)$ ?
Und bedenke, dass $f, [mm] f^{-1}$ [/mm] Umkehrabbildungen zueinander sind.
Nun bist du mal dran, eine konkrete Rechnung zu zeigen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 17.03.2010 | | Autor: | MosDef |
> Damit $ [mm] f^{-1}(h\star k)=f^{-1}(f(a)\star f(b))=\ldots [/mm] $
...= [mm] f^{-1}(f(a\star [/mm] b)) = [mm] f^{-1}(h\circ [/mm] k) = [mm] f^{-1}(h)\circ f^{-1}(k)
[/mm]
...sehr schwammig...wie gehts denn richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] f^{-1}(h\star k)=f^{-1}(f(a)\star [/mm] f(b))= [mm] f^{-1}(f(a \circ [/mm] b))=a [mm] \circ [/mm] b= [mm] f^{-1}(h) \circ f^{-1}(k) [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mi 17.03.2010 | | Autor: | MosDef |
;)
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